Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Пенроуз Р. -> "Структура пространства-времени" -> 25

Структура пространства-времени - Пенроуз Р.

Пенроуз Р. Структура пространства-времени — М.: Мир, 1972. — 184 c.
Скачать (прямая ссылка): strukturaprostranstvavremeni1972.pdf
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 186 >> Следующая

ол-+?ол, 1Л-*?-1,л (7.13)
мы имеем
х->?3?и, р->??р, о (7.14)
7. УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА И ФОКУСИРОВАНИЕ 79
а члены с производными пропадают в силу оАоА - 0. Теперь выясним смысл
условия х = 0:
оАовдсУ всоА = 0. (7.15)
Это условие имеет вид oAQA = 0, откуда можно получить, что 0а = УРа для
некоторого у. Таким образом, х = 0 означает
овбсУ ВС'0А = уоА. (7.16)
Полагая
1а - оАдА', ma = oAiA', (7.17)
перепишем (7.16) как laWaoA = yoA- Это равенство означает, что оА
переносится параллельно самому себе в /"-направлении (т. е. в оА-
направлении). Другими словами, условие к - 0 является необходимым и
достаточным для того, чтобы оА-направления были касательными к световым
геодезическим. Следовательно, х есть своего рода мера кривизны оА-кривых.
(Она является комплексной, так что указывает также направление этой
кривизны относительно флаговой площадки оА.)
Теперь предположим, что к = 0, так что мы имеем конгруэнцию световых
геодезических оА-кривых, и прочтем (7.15) двумя различными способами, а
именно как овфв = 0 и как бс'фС' = 0. По аналогии с тем, что было выше,
имеем соотношения следующей формы:
оАдсУ всюА - ров, (7.18)
оАовЧ ВС'0 А - адС' (7.19)
для некоторых р, о. В действительности р и о суть величины, введенные в
(7.12), что следует из умножения (7.18) на iB и (7.19) на ic'. Значение
(7.18) и (7.19) состоит в том, что они показывают, что при х=0 величины р
и о не зависят от iA. А поскольку они просто изменяют масштаб согласно
(7.14), если
для оА справедливо (7.13), то следует ожидать про-
стого геометрического смысла для р и о как некоторого свойства
конгруэнции световых геодезических. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим
элемент я двумерной плоскости в некоторой точке Р на одной из
80
7. УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА И ФОКУСИРОВАНИЕ
геодезических у. Выберем я пространственноподобным и ортогональным к
направлению у. Мы можем также выбрать tA ортогональным к я, так что я
будет натянуто на та и та, где та определяется по
(7.17). Тогда любой (действительный) вектор, лежащий в я, имеет форму
zma + zfha, (7.20)
и, следовательно, мы можем рассматривать я как аргандову плоскость Y 2 г.
В окрестности у двумерное множество световых геодезических "протыкает" я.
Эти геодезические, с точностью до величин первого порядка, лежат на
световой гиперповерхности, проходящей через у. Есть, разумеется, и другие
световые геодезические в окрестности у, но мы их не рассматриваем.
Посмотрим, как изменяется z, если мы будем следить за одной из световых
геодезических, протыкающих я. (Отметим, что г в точке Р для определенной
световой геодезической из конгруэнции вблизи у не зависит от выбора я в
Р. Изменение я в точке Р сводится просто к замене та на та + kla в (7.20)
с комплексным k.)
Положим
D = = V0o'* (7.21)
Для удобства будем считать, что оА, la параллельно переносятся вдоль у:
Doa = 0; Di/=0. (7.22)
Тогда та, та и, следовательно, я также переносятся пареллельно вдоль у.
Пусть ф- некоторая функция, постоянная вдоль световых геодезических
Оф - 0. (7.23)
Требование неизменности значения г, выделяющего определенную
геодезическую у нашей системы, мы характеризуем условием [см. (7.20)]
D {(ztna -f ztfia) Уаф} ~ 0. (7.24)
Это дает
ОгУыф + ОгУ10-#> 4 г (VWV0|. - ?0,-V00.) ф 4-
+ г (VQ0'V!0' - V кД'оо') Ф - 0* (7.25)
7. УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА И ФОКУСИРОВАНИЕ
81
Рис. 11. Интерпретация р и о в терминах их влияния на первоначально
круглый пучок световых лучей.
т. е., используя (6.31) (или непосредственно вычисляя эти коммутаторы),
получим:
(Dz -f pz + б-z) VoV<j> -f (Dz -f pz -f az) VoV<j> = 0. (7.26)
Таким образом
Dz = - pz - oz. (7.27)
Теперь интерпретация p и а становится очевидной. Действительная часть р
измеряет сходимость световых геодезических, а мнимая часть р измеряет их
вращение вокруг у- Тот факт, что о не обращается в нуль, указывает на
присутствие дисторсии, или сдвига (рис. 11). Таким образом, если о ф 0,
то малый круг превратится в эллипс по мере продвижения вдоль световых
геодезических. Ориентация осей этого эллипса относительно флаговой
плоскости оА определяется
как yargcr. Если световые геодезические являются
образующими световых гиперповерхностей, то мы можем выбрать 1а = Тац,
откуда следует, что
oAdB'(Walb-Vbla) = 0,
т. е. вращение отсутствует:
р = р. (7.28)
Условие (7.28) является также достаточным для того, чтобы световые
геодезические образовывали световые гиперповерхности. Если (7.28)
выполняется,
82
7. УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА И ФОКУСИРОВАНИЕ
то р и а относятся к геометрии каждой световой гиперповерхности в
отдельности, а не к связи между различными световыми гиперповерхностями.
Рассмотрим далее Т>-производные от р и а. Мы можем получить их из (6.30)
[используя (7.22); Vjt(r)oo,=^] или непосредственно из определения р, а,
ФАВС'о' и ^авсо¦ ТогДа
Dp = р2 + ад + Ф, (7.29)
Да = а(р + р) + Д, (7.30)
где
^ = ^оооо. ^"Фооо'о'* (^-31)
Уравнения (7.29) и (7.30) есть уравнения Сакса [93] для "оптических
скаляров" р, а. Комбинируя их с (7.27), получим
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 186 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed