Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
эквивалентными, если их можно перевести друг в друга с помощью
непрерывной деформации при сохранении конечных точек и световых флагов в
этих точках фиксированными. Существование спин-векторов связывается
теперь с существованием двух классов эквивалентности, соответствующих
каждому световому флагу в Р. Если рассматривать флаг-пути, основанные на
фиксированной кривой на Ж и кончающиеся фиксированным световым флагом, то
из топологии группы Лоренца следует, что существует два и только два
класса эквивалентности флаг-путей, связанных с этой кривой, различающихся
результирующим относительным поворотом на 2л между 0 и Р. Если же
допустить на многообразии изменение кривой, на которой основывается флаг-
путь, с ее дальнейшим возвращением в исходное положение, может оказаться,
что эти классы эквивалентности объединятся в один класс эквивалентности.
Тогда на многообразии нельзя будет определить спин-векторы. Если
допустить, что Р и О совпадают, то можно сформулировать это свойство
другим способом. Пусть (замкнутый) флаг-путь дает просто поворот
стандартного флага на угол 2л вокруг его флагштока; если теперь этот
флаг-путь можно так непрерывно деформировать (смещая кривую в
многообразии), что он станет постоянным (т. е. световой флаг не будет
поворачиваться вообще), то спинорной структуры не существует.
Проделанное построение соответствует пучку световых флагов Э~ для Ж (8-
мерное пространство всех световых флагов во всех точках Ж). Флаг-путь
') Я сознательно допустил некоторую нечеткость, не описав геометрической
структуры, соответствующей равному нулю спин-вектору в Р, которую можно
было бы назвать "световым флагом". Однако в случае флаг-путей "нулевые
световые флаги" безусловно следует исключить.
Б. ИСТОЛКОВАНИЕ СПИН-ВЁКТОРА
63
соответствует кривой в ?Г. Когда ?Г односвязно, наше построение дает
пучок спин-векторов 9 (пространство всех спин-векторов во всех точках Ж)
в качестве универсального (двулистного) накрывающего для если только
данное ?F обладает двулистным покрытием. Если же ?Г не обладает
двулистным покрытием (является односвязным), то для Ж не существует {S}.
В случае, когда {S} для Ж существует, элементы S* можно истолковать как
сечения 9 класса С°°.
Если Ж не является односвязным, положение усложняется ввиду несравнимости
флаг-путей, принадлежащих гомотопически неэквивалентным кривым на Ж. При
этом, если для Ж спинорная структура {S} и существует, то она оказывается
не единственной. Но во всяком случае для установления существования
спинорной структуры мы можем апеллировать к универсальному накрывающему
для Ж, и положение останется прежним.
Мы вели рассуждения в терминах пучка 9~ световых флагов, поскольку это
представляется наиболее непосредственным геометрическим путем к
пространственно-временному описанию спин-вектора. Чаще, однако,
пользуются пучком всех ортонормированных систем на Ж, и это лучше
подходит для общего п-мер-ного анализа. Легко видеть, что обе процедуры
равноценны в случае пространственно-временного многообразия. Кроме того,
ввиду ориентируемости Ж (что означает равенство нулю класса W\ Штейфеля -
Уитни) нетрудно использовать приведенные выше аргументы и показать, что
другое топологическое условие на Ж, следующее из существования {S},
состоит в обращении в нуль класса Шг Штейфеля - Уитни [38, 57]. Это
означает, что для каждой точки на этой 2-поверхности в Ж можно задать
непрерывную систему трех линейно независимых векторов. (Обсуждение этого
вопроса см. в [113а, 116, 117].) Любопытно, что существуют
"правдоподобные" пространственно-временные многообразия Ж1),
ориентируемые
!) Возьмите комплексную проективную плоскость 9* (вещественное 4-
многообразие) и задайте на ней (положительно определенную) риманову
метрику класса С°°. Пусть t - вещественная
64
5. ИСТОЛКОВАНИЕ СПИН-ВЕКТОРА
в пространстве и во времени и не содержащие замкнутых (или почти
замкнутых) временноподобных линий, для которых тем не менее шгф 0. В
таких Ж система {S} существовать не может.
Можно спросить, какие физические соображения свидетельствуют в пользу
существования у пространства-времени спинорной структуры. В самом деле,
какую степень физической реальности можно приписать объекту, не
возвращающемуся в свое исходное состояние при повороте на 360°? Эта
картина не имеет ровно ничего общего с нашим опытом! Тем не менее
волновые функции электронов, протонов, нейтронов, нейтрино и многих
других частиц ведут себя именно так. Конечно, можно утверждать, что это
ничего не доказывает: ведь волновая функция - понятие довольно туманное.
И уж во всяком случае при повороте на угол 2я меняется-то лишь знак
волновой функции в целом - а разве этот знак не считается как раз
ненаблюдаемым? В недавно опубликованной интересной статье Ааронов и
Сусскинд [1] утверждают, что эта точка зрения должна быть отброшена. Они
пишут, как можно в принципе построить прибор, который именно в силу
спинорной природы волнового уравнения для электрона ведет себя при
