Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
Так как в определениях (6.8) и (6.10) - (6.12) справа содержатся
готические индексы, требуется еще доказать, что они фактически не
зависят от выбора базиса. Это действительно так, ибо каждый
из операто-
ров V[cVd], UAB и Ол,в, удовлетворяет соотношениям
+ (6.13)
SDcf = 0
[ср. с (6.16)], где вместо 2D можно подставить любой из этих операторов.
Чтобы произвести замену базиса в (6.8) и (6.10) - (6.12), возьмем
6 (6.14)
eDS>-+t{~l\BD3' (6Л5)
где степень (-1) означает обратную матрицу. В силу
(6.13) матрица преобразования всякий раз переносится через операцию
дифференцирования, сокращаясь с обратной ей матрицей, так что выражения
не изменяют своего вида. (Следует помнить, что абстрактные значки не
преобразуются!)
Рассмотренные операторы связаны между собой соотношением
сУь) В^гА'В' ^ЛВ глв CW (6.16)
так что, например, ПАв -еЛвОпределения (6.10) и (6.12) можно тогда
объединить в виде
ПАВвс~ = VFABCD - 2Аер(Лев) с> (6.17)
6. ЯВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ КРИВИЗНЫ
69
Теперь (6.17) в комбинации с (6.11) и при учете
(6.16) дает
\а^Ь}ес~ ~ ^ ABCDZ А'В' (jp В) сгА'В' "Ь
~Ь (r)CDA'B'eAB- (6.18) В самом деле, величины ЧгABCD, Л и ФлвС'о' являются
[72, 115] неприводимыми частями Rat,Cd относительно локальных
(лоренцевых) преобразований 57,(2, С):
Rabcd = ABCDBA'B'eC'D' ""Н eABe'CD^ A'B'C'D' ""Н
+ 2Л {EACeBDeA'B'eC'D' eABeCDeA'D'eB'C'} +
+ eAB(^CDA'B'eC'D' + еС?>ФдвС'?>'еД'в'- (6.19)
Разложение (6.19) может быть получено из двукратного применения операции
(6.18) с учетом (4.35) в определении (6.8). Свойства симметрии
Rabcd == Rcdab == R[ab] [cd]> Ra [bed] === 0 (6.20)
находят отражение в равенствах
ABCD = Х? (ABCD)' Л = Л,
_ (6.21) ФдВС'О' = Ф(ЛВ) (C'D') = ФдВС'?>'>
так что 'Равсв. Л и Фавс'гг принадлежат соответственно к неприводимым
представлениям 0(2,0), 0(0,0) и 0(1, 1) локальной группы Лоренца.
На тензорном языке выразить разложение Rabcd на неприводимые части
оказывается несколько сложнее. Можно определить тензор Вейля (тензор
конформной кривизны) как
С abed ~ ^ABCDEA'B'EC'D' "Ь e'ABeCDX^A'B'C'D'- (6.22) В чисто тензорных
обозначениях это записывается как
cabcd = Rabod - 2R[a(A + i- (6-23)
Rab = RXaxbI R = R*x- (6-24)
Тогда, наряду с обычными свойствами симметрии тензора Римана (6.20),
тензор Вейля обладает еще дополнительным свойством
Cxbxd = 0. (6.25)
70
6. ЯВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ КРИВИЗНЫ
Тензор Cabcd еще не является неприводимым (если допустить рассмотрение
комплексных тензоров) и распадается далее на так называемые самодуальную
и антисамодуальную части:
гАе - УABCDeA'B'ecrD'- (ТеРмин "самодуальный"
- бибсь - полностью антисимметричный символ Леви-Чивиты в правом
ортонормированном базисе; на языке спиноров &abcd = АСгВйг A'D'6 В'С'
^'eЛDeBCeA'C'eB,D'•
Остальные неприводимые части Rabcd суть
Чтобы проверить совпадение определения (6.8) тензора Римана с его обычным
определением, можно вывести тождества Риччи. Возьмем, например, 1аь:
2\[aVb)lCd = 2VlaVb] (|'Л) = lCxR\ab - VdR'xab. (6.28)
Это видно из (6.13) и из свойства Rabcd = - 26lV[cVd]6°, следующего также
из применения (6.13) к (6.8). В точности по тому же рецепту получим и
соответствующие спинорные тождества Риччи, взяв, например,
Можно также непосредственно получить выражение для компонент /?аьсь через
Г"6с, используя (6.1) в (6.8) при учете (3.20). Это дает формулы,
выражающие тензор Римана обычным образом как через символы Кристоффеля,
так и через коэффициенты вращения Риччи. Несколько менее привычны
аналогичные выражения, связывающие спиновые коэффициенты и спинорные
компоненты кривизны. Мы приведем их здесь
означает здесь, что -jCtbxyieCdXy - Cabcd> причем
и
Rab Rgab-------------2ФАВА'В'
R - 24Л.
(6.27)
(6.26)
6. ЯВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ КРИВИЗНЫ
71
в явном виде, так как они нам дважды понадобятся в дальнейшем.
Воспользуемся соотношением (6.18), так как в нем фигурируют сразу все
компоненты кривизны. Получим [64]
- ^s(r)'Y(r)gs(r)' -
= s'1(r) {Va^s'Yagsg' + Y^g^'Ya^s(r)'
Y?t-i"3g'Yag2i8' Yagipg'Yajx!"'} "b -{- e 1 * {Ys(gan'Y.$'s3'g3 Yag-
j'ji'Ys'g'(r)'(r)} f V^atsTSeffi'8' ^V(r)' (e(r)3%3 esisess) +
~^ (6.30)
Уместно также записать здесь коммутатор для двух "внутренних
производных":
(YWVgT)' - VgjyY т'}Ф -
= {еш (v.pjiga'^aa' Y,pgst(r)'Ya:D') "Ь
+ e3i (r) (YsH's'a'g^as' (6-31)
7.
Уравнения Эйнштейна и фокусирование
Разложение (6.19) тензора Римана на его неприводимые спинорные части
позволяет нам детальнее обсудить структуру кривизны пространства-времени,
которая определяется уравнениями поля Эйнштейна. Уравнения Эйнштейна суть
Rab \ R§ab + kgab = - 2KTab, (7.1)
где К и К - действительные постоянные, причем К > 0, а ТаЬ - локальный
тензор натяжений-энергии-импульса материи ("тензор энергии"). Здесь
термин "материя" относится к любому полю за исключением гравитационного.
В этом смысле, например, свободное электромагнитное поле считается
"материей". Вопрос о том, какая энергия должна быть приписана собственно
гравитационному полю, является более тонким. Он будет обсужден несколько
