Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
некоторого выражения для плотности массы по пространственноподобной
гиперповерхности 9\ Однако мы должны были бы принять во внимание
"нелокальную плотность массы" гравитационного поля самого по себе, что
усложняет дело. В качестве альтернативы мы могли бы измерять массу,
исследуя поле только в окрестности бесконечности на 9, так как характер
падения кривизны на больших расстояниях на 9 должен определять полную
массу. Вместо интеграла по 3-объему мы используем тогда просто интеграл
по 2-поверхности, взятой на бесконечности. Любой из этих методов может
быть использован для получения удовлетворительного определения. Но в
обоих случаях пространственноподобная гиперповерхность 9 должна быть
продолжена до бесконечности, и мы сталкиваемся с трудностью при измерении
массы гп\ - т2, переносимой волнами. Мы могли бы наложить "естественное"
требование, чтобы 9 надлежащим образом стремилась к
пространственноподобной гиперплоскости по мере того, как пространство-
время приближается к плоскому на бесконечности. Это требование законно
для гиперповерхности 9ь которая пересекает мировую линию источника до
излучения и дает массу mi (рис. 14). Но в случае гиперповерхности 92,
которая пересекает источник после излучения, в результате измерения массы
мы получим не m2, а опять-таки т\. Это происходит потому, что 92
пересекает все волны, и какую бы энергию они ни переносили, мы получаем =
т2 + (mL - т2).
Можно попытаться осуществить некоторый сложный процесс, позволяющий
гиперповерхности двигаться "вверх" по времени с постепенным расширением
области интегрирования до бесконечности, так, чтобы волны оставались вне
этой области. Применим его ко второй из упомянутых возможностей для
измерения массы. Тогда мы придем к рассмотрению интегралов
8. КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
93
Источник
Рис. 14. Для измерения потери массы вследствие излучения И е*Г2 более
удобны, чем ^ и ^2.
по 2-поверхности на бесконечности, но не в пространственноподобных, а в
световых направлениях. Это предполагает использование световых (или, по
крайней мере, асимптотически световых) гиперповерхностей Jf 1, Jf2 вместо
911, 9>2- При этом Jf\ полностью лежит вне конуса излучения, который, в
свою очередь, полностью лежит вне JFг- Тогда интеграл по 2-поверхности на
бесконечности Jfi можно использовать для измерения т,- (где i = 1, 2), а
разность гп\ - т2 дает массу волн.
Введя такое определение массы и показав, что разность mi - m2
положительна в присутствии излучения, Бонди (с сотрудниками) [8, 11] и
затем Сакс [95] существенно продвинулись в понимании гравитационной
энергии. Их определение зависит от выбора
94
8. КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
Рис. 15. Область изменения р и ц. Чтобы построить еМ, надо вращать
рисунок вокруг р = д, так что каждая точка р > q описывает S2 (но 1°
должно оставаться фиксированным!).
специальной координатной системы, основанной на уходящих световых
гиперповерхностях. Существование координатной системы требуемого типа
взято в качестве определения необходимой степени асимптотической ев-
клидовости. Я предлагаю дать другое определение асимптотической евкли-
довости, которое является более геометрическим, но по существу
эквивалентно определению Бонди - Сакса. Идея состоит во введении границы
пространства-времени Ж, которая образована начальными и конечными точками
каждой световой геодезической в Ж. (Мы только что видели, что масса по
Бонди - Саксу представляет собой интеграл по 2-поверхности "конечных
точек" световых геодезических, а именно тех, которые образуют Jfi.)
Чудесным образом оказывается, что асимптотическая евклидовость Бонди -
Сакса находит свое выражение в существовании гладкой конформной структуры
[74, 76] пространства-времени с границей. Имея на бесконечности такую
хорошо определенную структуру, мы можем теперь выполнять вычисления,
рассматривая бесконечность так, как если бы она была локальной
структурой, что позволяет избежать неудобных асимптотических пределов.
8. КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
95
Начнем с рассмотрения природы конформной бесконечности для пространства-
времени Минковского Ж. Выберем световые полярные координаты и, v, 0, <р,
связанные с обычными координатами х°, х1, х2, х3 посредством
и = х° - г, и = х° + г, (8.4)
где г = [(а1)2 + (а2)2 + (х3)2]'/з и
х1 = г sin 0 соэф, х2 - г sin 0 sin ф, x3 = rcos0. (8.5) Тогда
ds2 = du dv - ^{u - v)2(dQ2 + sin2 0 dtp2), u^v. (8.6)
Выберем новые координаты p, q, такие, что
v = tgp, u = tgq (-я/2<9</?<я/2), (8.7)
тогда точки на бесконечности имеют конечные значения координат р, q (рис.
15). Метрика (8.6) теряет смысл при этих значениях (р - п/2 или q - -
л/2), но если мы перейдем к конформной метрике
ds = Qds, (8.8)
где
Q = (l+"2Г,/*(1+ o2)-'/,f (8>9)
то (8.6) превращается в
ds2 - - dp dq -sin2 (/? - q)(dQ2 -+- sin20 dq>2). (8.10)
Метрика (8.10) вполне регулярна при р = л/2 и q = -п/2 (за исключением р
= q или р - q = л, где имеются устранимые координатные сингулярности).
