Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Пенроуз Р. -> "Структура пространства-времени" -> 27

Структура пространства-времени - Пенроуз Р.

Пенроуз Р. Структура пространства-времени — М.: Мир, 1972. — 184 c.
Скачать (прямая ссылка): strukturaprostranstvavremeni1972.pdf
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 186 >> Следующая

Такое поведение является предельным случаем эффекта Райчаудури [49, 86],
который относится
к конгруэнции временноподобных геодезических, ортогональных к
гиперповерхности. Пусть ta - касательный вектор к геодезическим данной
конгруэнции, параметризованный в соответствии с собственным временем s
(так что tata = 1, a ta направлено в будущее) и ортогональный к
пространственноподобной гиперповерхности s - 0. Определим дивергенцию
геодезических как
0 = \\ta. (7.40)
') Это свойство имеет одно простое применение, которое, по-видимому, не
отмечалось прежде, а именно: может ли сфериче-ски-симметрнчное тело в
асимптотически плоском пространстве-времени не иметь центра (см. [9, стр.
436]). Если мы рассмотрим световые лучи (световые геодезические),
сходящиеся внутрь сферы, расположенной симметрично вокруг тела на
некотором расстоянии от него, то мы видим, что лучи первоначально
сходятся, так что р > 0. Они должны достичь (симметричной) фокальной
точки [при условии, что выполняется (7.35)], и эта фокальная точка
определяет центр (сравните со свойствами ловушечной поверхности,
описанной в разд. 10).
86 7. УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА И ФОКУСИРОВАНИЕ
Из тождества Риччи мы получим уравнение Рай-чаудури
DQ = -yatbVbta -f Rabtatb, (7.41)
где D = taVa, как в (7.9).
Из условия ортогональности к гиперповерхности получим yatb - Vbta, а из
неравенства Шварца в 3-мерном пространстве, ортогональном к ta, имеем
V/Vbr = Va^Vy>|-02 (7.42)
[из условия геодезичности taSatb = 0 и tasJbta = - у^b(tata) - 0]- Таким
образом,
DQ < - ± 02 -}- Rabtatb. (7.43)
Пусть V - элемент 3-мерного объема, ортогональный к ta. Тогда по (7.40)
DV = 0У (7.44)
и
D (У7") = 0У'А. (7.45)
Теперь (7.43) дает
D2{v'h) =yD (0У'А) < Т V'l3Rabtatb < 0, (7.46) если выполняется
энергетическое условие [ср. с (7.1)] Tabtatb>j^+Tcc. (7.47)
[При А = 0 неравенство (7.47) выполняется, если в "собственной тетраде"
тензора ТаЬ плотность энергии не меньше каждого из главных давлений,
взятых с отрицательным знаком, и не меньше суммы главных давлений с
отрицательным знаком. Это справедливо для всех видов обычной материи.] С
этого места доказательство проводится так же, как и прежде, с заменой
(7.38) на (7.45) и (7.39) на (7.46). Видно, что
7. УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА И ФОКУСИРОВАНИЕ
87
Главное световое направление
Плоскости
астигматизма
Рис. 13. Главное световое направление проявляется как сингулярность в
поле направлений астигматизма на S2, представляющей все световые
направления в точке Р.
если в некоторой точке на одной из геодезических 0 < 0, то где-то в
будущем на этой геодезической достигается фокальная точка (1/ = 0, 0-"
оо). Аналогично, фокальная точка (V=0, 0-++00) достигается в прошлом на
геодезической, если 0 > 0.
Здесь уместно сделать еще одно заключительное замечание относительно
(7.30). Согласно (7.31),
^ = 4 abcd°a°bocod, (7.48)
так что, сравнивая (7.4) и (7.5), мы видим, что Y обращается в нуль, если
оА ориентировано вдоль главного светового направления. Таким образом, мы
можем дать физическую интерпретацию главных световых направлений. Это те
световые направления (в точке Р), вдоль которых нет астигматического
фокусирования. Поскольку астигматизм зависит от направления, путем
топологического рассмотрения можно показать, что в точке Р должно быть по
крайней мере четыре световых направления, где астигматизм обращается в
нуль. Рассмотрим сферу S2, представляющую собой световые направления в Р,
на которой мы введем линейный элемент, представляющий астигматизм для
каждого светового направления в Р. Главные световые направления
соответствуют четырем точкам, в которых линейный элемент обращается
88 1- УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА И ФОКУСИРОВАНИЕ
в нуль (рис. 13). Аргументация этого типа применима к полям других спинов
(например, к полю спина 1, а именно к электромагнетизму, когда
аналогичный линейный элемент является ориентированным, так что случай,
представленный на рис. 13, не осуществляется, и мы получаем только два
главных световых направления). Этот подход может быть также применен к
асимптотическим полям, для которых S2 будет на бесконечности, а не в
точке Р.
Конформная бесконечность
Вопрос о смысле гравитационной энергии был кратко рассмотрен в предыдущем
разделе. Полезность понятия энергии обусловлена, вообще говоря, фактом ее
сохранения. Теория Эйнштейна содержит "локальный закон сохранения" для
энергии, а именно
VaTab = 0, (8.1)
который в силу уравнений поля (7.1) является двойной сверткой тождеств
Бианки:
4{aRbc]de~ 0. (8.2)
Однако (8.1) не приводит к интегральному закону сохранения обычного типа,
т. е. к закону, утверждающему, что интеграл по границе компактного 4-
мерного объема от "потока" некоторой величины через эту границу равен
нулю.
Прототипом такого интегрального закона может служить закон сохранения
электрического заряда. Если 1а обозначает вектор тока, то
Уа1а = 0. (8.3)
Так как Ja является "вектором" или, точнее, элементом, "дуальным к 3-
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 186 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed