Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Пенроуз Р. -> "Структура пространства-времени" -> 26

Структура пространства-времени - Пенроуз Р.

Пенроуз Р. Структура пространства-времени — М.: Мир, 1972. — 184 c.
Скачать (прямая ссылка): strukturaprostranstvavremeni1972.pdf
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 186 >> Следующая

D2z~=-Oz-Wz. (7.32)
Фактически (7.32) можно получить также непосредственно из (7.8), если мы
положим ta - 1а и ра = гта -j- zfna. В этой связи приведем формулы:
4 = RabJamblemd, Ф=каШ1ать1стй, р = mambVbla, а - mambVbta.
Из (7.29) и (7.30) видно, что изменения врио определяются главным образом
величинами Ф и f соответственно, но в обоих случаях есть дополнительные
нелинейные члены. Чтобы выделить эффекты, связанные с Ф и *Г, в наиболее
чистом виде, рассмотрим частный случай, в котором Ф и ? локализованы в
очень малой области на у. [Фактически возможен также идеализированный
случай, когда Ф и Д являются дельта-функциями Дирака. См. пример с
плоскими волнами (9.23) - (9.26).]
Предположим, что имеется импульс света, представляющий собой
первоначально пучок параллельных лучей. Световые геодезические,
образующие пучок, составляют небольшую часть (окрестность у) световой
гиперповерхности, проходящей через у, и для них р = а - 0, Тогда из
(7.29) мы видим, что часть кривизны Ф (при Д = 0) действует как линза
7. УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА И ФОКУСИРОВАНИЕ 83
без астигматизма (поскольку в пучок вносится сходимость р, но сдвиг о
остается нулевым). В то же время часть кривизны Y (при Ф = 0) действует
как чисто астигматическая линза, т. е. в одну плоскость вносится точно
такая же положительная сходимость, какая отрицательная сходимость
вносится в плоскость, перпендикулярную к первой (поскольку для
результирующего пучка р - 0, а ст=?^0). Интерпретация частей кривизны на
языке линз остается в силе и для произвольного пучка, в котором р и ц не
обязательно равны нулю вначале. Нелинейные члены в (7.29) и
(7.30) также в точности соответствуют эффектам, которые производятся
разделенными линзами [78]. Таким образом мы можем представлять себе
действие кривизны пространства-времени на пучок света аналогичным
эффектам, производимым серией линз, расположенных вдоль пучка. Степень
сходимости описывается локально величиной Ф, а астигматизм - величиной
'Т. Вследствие симметрии (6.21) компоненты
(7.31) дают всю информацию, содержащуюся вТ^ср и Флвс'о' ПРИ изменении у.
Одно важное свойство кривизны состоит в том, что всегда имеется
положительное фокусирование вдоль любой световой геодезической, если
мы предполагаем,
что локальная плотность энергии положительна.
Плотность энергии, измеренная наблюдателем, мировая линия которого имеет
касательный вектор ta, равна
Tabtatb, (7.34)
если еще предположить, что tata= 1. Если мы требуем, чтобы (7.34) было
неотрицательно, то ТаЬМъ 5* ^ 0 для любого временноподобного вектора ta
(безотносительно к условию нормировки на ia). Таким образом, если мы
возьмем предел вектора ta при его стремлении к световому вектору /а, мы
получим [согласно (7.3)]
Ф = КТаЬ1а1ь>0 (7.35)
(неважно, равно к нулю или нет, поскольку gablalb = = 0). Отсюда следует,
что в отсутствие W кривизна
84
7. УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА И ФОКУСИРОВАНИЕ
Ф действует вдоль пучка как серия положительных (собирающих) линз.
Присутствие Ч проявляется в уравнении (7.29) посредством члена ад,
который опять-таки действует как положительная линза. Грубо говоря, мы
можем считать о интегралом от Ч вдоль у. Таким образом, Ч действует
нелокально, способствуя фокусировке вдоль у. Своим суммарным эффектом
осциллирующее Ч сильно напоминает Ф. Это тесно связано с вопросом о
гравитационной энергии. Хотя локально гравитационное поле не дает вклада
в плотность энергии, но гравитационная волна переносит нелокальную
энергию, причем полная энергия, переносимая волной, всегда положительна.
(Поразительным примером того, как гравитационная "рябь" создает
эффективную положительную энергию, является гравитационный "геон" -
теоретическая конструкция Уилера [112]. Он представляет собой область
пустого пространства, состоящую из "ряби", которая остается ограниченной
длительное время. На достаточно большом расстоянии геон проявляется как
"частица" с положительной массой.)
Рассмотрим положительный фокусирующий эффект несколько подробнее. Если в
элементарной площадке я мы выберем малый треугольник с вершинами в точках
О, Z\, Z2, то его площадь
a=---~(zlz2 - z2zl) (7.36)
удовлетворяет уравнению [согласно (7.27)].
Da - - (p-fp)a. (7.37)
Так как наш пучок лучей выбран как часть световой гиперповерхности, то р
= р. Следовательно,
D(aV") = -paV.. (7.38)
Из (7.29) получаем
D2 (a,/z) = D (- ра'/з) = - (оа + Ф) а'!г "С 0. (7.39)
Таким образом, если р > 0 в некоторой точке у, то
по (7.38) а'12 уменьшается. Из (7.39) следует, что а'/г
7. УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА И ФОКУСИРОВАНИЕ 85
Рис. 12. Как только площадь поперечного сечения пучка световых лучей
начинает убывать, она неизбежно падает до нуля.
уменьшается до нуля ') (рис. 12). Таким образом, пучок неизбежно
достигает фокальной точки Q. (В общем случае фокальная точка будет
астигматической, т. е. пучок собирается в линию, а не в точку.) Отметим,
что р становится неограниченным вблизи Q, так
как р = - у?>(1па) согласно (7.38).
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 186 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed