Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
поворотах как спинор в макроскопических масштабах. Этот прибор состоит из
двух частей, при соединении которых возникает наблюдаемый электрический
ток из одной части
С00-функция на 9>, имеющая лишь изолированные особые точки. Устраните эти
точки из многообразия и с помощью единичного вектора, соответствующего
градиенту t, постройте лоренцеву (+, -, -, -) псевдориманову метрику
класса С00. "Пространство-время", которое вы получите, будет
ориентируемым во времени и в пространстве и в нем не будет замкнутых (т.
е. "S*) временноподобных кривых [фактически оно будет удовлетворять
сильному требованию причинности (11.1)], но тем не менее у него не будет
спиновой структуры (w2 ф 0). Я благодарен Р. Ботту и С. Смейлу за этот
пример.
Примечание в корректуре. В недавно написанной работе (посланной в Journ.
of Math. Phys.) Героч показал, что в случае некомпактного пространства-
времени существование спинорной структуры эквивалентно глобальному
существованию непрерывного поля ортонормированных тетрад. Он показал
также, что наше предположение (4.5) фактически излишне.
5. ИСТОЛКОВАНИЕ СППЫ-ВЕКТОРА
65
в другую. Части прибора затем разделяются и одна часть поворачивается на
2л относительно другой. Затем их снова соединяют, и снова из одной части
в другую течет наблюдаемый ток, только теперь его направление стало
противоположным! Первоначальное направление тока восстанавливается, лишь
если части прибора вновь разделить, повернуть их на угол 2л и
присоединить друг к другу. Мы приходим, таким образом, к ситуации, когда
геометрия прибора (в обычном смысле) еще не определяет его поведения. И
лишь расширив понятие геометрии путем включения спинорных величин, мы
сможем здесь снова утверждать, что поведение системы определяется ее
геометрической конфигурацией.
Прибор Ааронова-Сусскинда дает "физический" способ изображения спин-
вектора. Можно представить себе, что одна часть прибора скреплена с нашим
стандартным флагом, тогда как другая движется в пространстве-времени
вместе с другим световым флагом. Такой прибор при этом "следит" за
четностью числа полных относительных оборотов - так, в сущности, мы
получаем спин-вектор. Если бы удалось убедительно доказать, что такие
части прибора могут (в принципе) сохранять свою "память" на больших
(скажем, космологических) расстояниях и интервалах времени, мы получили
бы решающий довод в пользу того, что w2 действительно равняется нулю для
вселенной!
3 Р. Пенроуз
Явные формулы для кривизны
Метод, изложенный в разд. 3, автоматически дает все общеизвестные
основные формулы, включающие кривизну, символы Кристоффеля и коэффициенты
вращения Риччи, как только будут введены известные основные определения.
Мы перечислим их здесь вместе с параллельной записью различных спинорных
формул, вытекающих из аппарата разд. 4.
Рассмотрим базис 6" для Т° и (возможно, не связанный с ним) базис еяА для
S"4. Пусть 6" и ела будут соответствующими дуальными базисами. Введем
определения
Г"Ьс = 6"VX = - 6М (6.1)
и
Ystsss'= eyia^7gT'estA ~ (6*2)
Здесь, в согласии с (3.20), Vc = 6cV<, и
Эквивалентность определений (6.1) и (6.2) непосредственно следует из
правил (4.51) -(4.56), а также (3.17), (4.30) и (4.31). Величины TV
конкретизируются либо как коэффициенты вращения Риччи [в том случае,
когда базис выбран так, чтобы давать gab в специальном виде, например
(4.15)], либо как символы Кристоффеля (при взятии координатного
естественного базиса). Величины у?-(r)(r)(r)' называют спиновыми коэффициентами
[64]. В качестве примера выведем обычные свойства симметрии символов
Кристоффеля. Пусть х°, х\ х2, х3 - локальная система
6. ЯВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ КРИВИЗНЫ
67
координат на Ж. Тогда связанный с ней координатный базис определяется
через
б? = У"*а (6.3)
и через дуальные им компоненты б?. Тогда мы имеем Г?с = - 6SVcVex' = -
6?66flVdVaA;a (6.4)
величину, явно симметричную по с и b ввиду условия обращения в нуль
кручения (4.57). Из (6.2) столь же непосредственно следует симметрия
спиновых коэффициентов
YstsgD' ~ Ут<$5>'' (6-5)
Определения (6.1) и (6.2) вместе с (3.20) и (3.21) дают обычные формулы
ковариантного дифференцирования в компонентах, например
6?6б6а (V/s%) = бьб"Ус (&аЛ) =
- - |аеГебЕ, (6.6)
Еесеь'?,'еялев'<й' (УСо'9дв') = е^е^'У^' (9(r)se д(r)ед'в') =
== У^э'Оа8 - 9gs Y%(r)(r)' 4" 9я3 S'S'(r). (6.7)
[Вспомним, что V.. - это просто обычный оператор
частного дифференцирования (взятия градиента), когда он действует на
величины без абстрактных значков.]
Определим теперь тензор кривизны и спиноры кривизны. Введем
Rabca=26aaVlcVd]6l (6.8)
и, полагая,
Пав = Ук'щУд), Па'в' = Уг (л'Увщ (6.9) определим
^ авсd ~ еоэ ^ (ав Ес)3)' (6.10)
68
е. ЯВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ КРИВИЗНЫ
Здесь принято условие, согласно которому квадратные скобки означают
антисимметризацию по заключенным в них индексам, а круглые скобки -
симметризацию, например
а,
[ab] 2 (r)6а)' аЪс] 6 РЪса 1 ^cab
$acb $cba $bac)' ^(лв> ~ У (Улв ^вл)> И Т- Д'
