Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
потребоваться добавочные условия типа (8.21) и (8.22), в дополнение к
асимптотической простоте в слабом смысле. Если вблизи & выполняются
уравнения Эйнштейна - Максвелла, такие добавочные условия не нужны (за
исключением, возможно, некоторых особых случаев), и свойство
последовательного вырождения можно вывести для обоих полей -
гравитационного и электромагнитного.
Возвратимся на короткое время к вопросу об энергии и импульсе, с которого
мы начали. Если уходящая в будущее световая гиперповерхность Jf
пересекается с У+ по 2-поверхности 91 (рис. 18), то мы
Г
можем вычислить интеграл по 91, чтобы получить полные энергию и импульс,
содержащиеся на произвольной гиперповерхности, натянутой на 91. Если
выбрать Q так, чтобы метрика на 91 была метрикой единичной сферы, то,
интегрируя
6N-4r2 (8.48)
по 91, мы получим энергию (связанную с выбором Й), а интегрируя (8.48) с
надлежащим весовым фактором, получим импульсные компоненты. Здесь
гР2 = фооп (8.49)
на 91, так что Ч'г происходит от г_3-части тензора Вейля. Величина о
является сдвигом Гoooi гиперповерхности Jf, вычисленным на 91 (с 6А и 1А,
опре-
8. КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
109
деляющими световые направления в Jf и 9 соответственно). Величина N
является "функцией новостей" Бонди - Сакса, определенной здесь как
jV = <5iio'o'. (8.50)
Хотя N представляет собой компоненту тензора Риччи, она сохраняет
определенную конформную ковариантность благодаря указанному выше
ограничению на Q. Оказывается, полная конструкция энергии-импульса имеет
правильные трансформационные свойства как "асимптотический 4-вектор".
По существу формула Бонди - Сакса для потери массы выражает тот факт, что
если мы повторим интегрирование с новой световой гиперповерхностью,
лежащей в будущем по отношению к предыдущей, то полученная масса всегда
будет меньше или равна первоначальной. Масса, уносимая гравитационными
волнами, равна интегралу от NN по части У+, ле_жащей между двумя
световыми гиперповерхностями; N можно описать как интеграл от 4*4 =фпп
вдоль образующих [Фактически это следует из (8.50).] В разложении по г
величина 4% является г_,-частью гравитационного поля; следовательно, эту
величину можно рассматривать как уходящее поле излучения. По существу
"функция новостей" является "интегралом по времени от уходящего
гравитационного поля излучения". Оказывается, формула Бонди - Сакса для
потери массы тесно связана с положительным фокусированием (7.39) на
световой линии у, которая лежит строго внутри У+. При этом N играет роль
а в (7.39), а ЧЧ - роль 4я (см. [78]).
Можно отметить, что потеря массы имеет место безотносительно к наличию
приходящего излучения (аналог 4*4 на Э~). Предположение об
асимптотической евклидовости на У+ не исключает приходящих волн (как
когда-то считалось), хотя оно запрещает слишком большую концентрацию
приходящих волн внутри Чтобы получить прирост массы вследствие
приходящего излучения, мы должны обратить рассмотренную выше конструкцию
и проделать вычисления на
110
8. КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
И, наконец, последнее замечание об энергии в общей теории
относительности. Мы видим, что последовательно измеряемая масса всегда
убывает и нет никакой гарантии, что масса не станет отрицательной! В том
случае, когда все источники в конце концов уйдут на Э+ в виде поля
излучения нулевой массы покоя, можно сказать на основании формулы Бонди -
Сакса, что полная масса всегда была положительной '). Насколько я знаю,
еще не решен вопрос о том, является ли полная масса положительной в общем
случае, когда мы предполагаем лишь подходящие, физически разумные
неравенства на Таь-
') Брилл [14] получил некоторые результаты, относящиеся к положительной
определенности полной массы системы, измеренной на
пространственноподобной гиперповерхности. Брилл и Де-зер [14а] недавно
предложили новый перспективный подход к этой проблеме.
9.
Горизонты
Рассматривая частные космологические модели, иногда полезно сделать
конформное представление бесконечности, даже в тех случаях, когда
пространство-время не является асимптотически простым в слабом смысле.
Например, в обычных моделях Робертсона - Уолкера мы можем представить
начальную сингулярность с бесконечной кривизной как несингулярную
гиперповерхность, изображающую границу в прошлом. Это можно сделать, если
предположить, что Q = оо в этой области. Природа таких граничных
гиперповерхностей тесно связана с четырьмя типами горизонтов, которые
могут встретиться в космологии: горизонт событий, горизонт частицы [88] и
горизонты Коши [40, 42], будущий и прошедший. Ниже все они будут
определены точно.
Прежде всего дадим некоторые определения. Под кривой я подразумеваю
образ, получаемый при помощи отображения f класса С1 (с необращающейся в
нуль производной) действительного интервала ненулевой длины, причем я
требую, чтобы каждая точка многообразия Ж имела окрестность Л, для
которой f~l Л не имеет некомпактной связной компоненты. Таким образом,
