Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
имеет горизонт событий.
Рис. 21. Если & пространственноподобно, всякая временноподобная кривая
имеет горизонт частицы.
мира, из которых частица с мировой линией у может или не может в принципе
наблюдаться.
Примером пространства-времени с нетривиальным горизонтом событий или
частицы для геодезической у может служить Ж, содержащее
пространственноподобную конформную бесконечность 3+ или 3~. (Допускается
й ф 0 или й = оо на У.) Если Д+ - пространственноподобно, то всякая
временноподобная геодезическая у (в действительности всякая продолжаемая
временноподобная кривая в Ж), проходящая через некоторую точку Ж,
достаточно близкую к 2f+, пересечет У+ в точке Q в Ж. Мы можем определить
/-(Q) (используя конформную структуру Ж)\ это и будет искомый горизонт
событий /_[у] (рис. 20). Совершенно аналогично, если -
пространственноподобно, мы можем найти временноподобную геодези-
Частица
116
9. ГОРИЗОНТЫ
ческую у с нетривиальным горизонтом частицы (рис. 21).
Чтобы определить горизонт Коши, предположим, что 9 есть некоторое
замкнутое полупространственно-подобное множество. Определим области
зависимости D+(9), D-(9) следующим образом:
D + (9) ЕСТЬ ДОПОЛНЕНИЕ К ОБЪЕДИНЕНИЮ ВСЕХ ВРЕМЕННОПОДОБНЫХ КРИВЫХ,
ПРОДОЛЖИМЫХ В ПРОШЛОЕ И НЕ ПЕРЕСЕКАЮЩИХ 9. (9.8)
D-(9) определяется просто как обращение во времени формулировки (9.8).
Другими словами:
X^D+(9) ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, когда ВСЯКАЯ ВРЕМЕННОПОДОБНАЯ КРИВАЯ,
ПРОХОДЯЩАЯ ЧЕРЕЗ X, МОЖЕТ
быть пРодолженА в прошлое до ПЕРесечЕния с 9, (9-9)
и аналогичным образом для D-(9). [Принимаем 9czD+(9).] Легко видеть, что
продолжимые в прошлое кривые, не пересекающие 9, охватывают открытое
подмножество множества М. Следовательно, из (9.8)
D+ (9) И D-(9) ЕСТЬ ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА. (9.10)
Горизонтами Коши (рис. 22) являются "граница в будущем" множества D+(9) и
"граница в прошлом" множества D-(9):
H+(9) = {X:Xz=D+(9), I+(X)(\D+(9)=0},
Н- W = D. (9), /_ (X) П Д- (9) = 0}. 1 }
Легко получить, что
Н + (9) И Я_ (9) ЕСТЬ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕННОПОДОБНЫЕ ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА.
(9.12)
Мы можем определить]) край замкнутого полу-цространственноподобного
множества 9 как множе-
¦) Примечание к русскому изданию. Это определение сформулировано не
вполне корректно. Правильная формулировка содержится в [131]: край
ахронального (полупространственноподобного) замнкнутого множества 9*
определяется как множество точек Р е 9, таких, что если R "С R "С Q и у
есть временноподобная кривая от R до Q, проходящая через Р, то всякая
окрестность у содержит временноподобную кривую от R до Q, не пересекающую
9.
9. ГОРИЗОНТЫ
117
Край (У)
Край (У)
Рис. 22. Области зависимости и горизонты Коши для полу-
пространственноподобного множества ЭР (в "тривиальном" случае).
ство точек РеУ, таких, что для любого открытого множества Л, содержащего
Р, и для точек R, Qci, R <С Р < Q существует временноподобная кривая в Л
от R до Q, не пересекающая 9. Имеем:
Множество "край (9)" всегда является замкнутым. Оно состоит из тех точек
9, в которых 9 не локально гомеоморфно Е3. Если край (9) = 0, мы можем
назвать 9 бескраевым Если 9- гладкое по-лупространственноподобное
множество, являющееся гиперповерхностью (без границы) в Ж (так что
касательные гиперплоскости всюду пространственноподобные или световые),
то 9 бескраевое тогда и только тогда, когда 9 есть замкнутое подмножество
в Ж (т. е. 9 является собственно вложенным.) И другой пример: всякое
множество ППГ - бескраевое.
Горизонт Коши (если он существует) будем называть нетривиальным, если он
представляет собой Н+(9) или Н {9) некоторого замкнутого, бескраевого
полупространственноподобного множества 9. Тривиальные горизонты Коши
легко построить (в мирах без замкнутых временноподобных кривых), принимая
Край (ЭР) с Н+ (ЭР) П Я- (ЭР).
(9.13)
118
9. ГОРИЗОНТЫ
V
*
Рис. 23. Если 9 временно- Рис. 24. Модель де Ситтера. подобно, то каждое
полупро-странственноподобное множество имеет горизонт Коши.
в качестве 9 малый замкнутый кусок пространственноподобной
гиперповерхности. Статический мир Эйнштейна не содержит нетривиальных
горизонтов Коши. Однако мир Минковского содержит нетривиальные горизонты
Коши. Например, если 9? есть х° = х1 в обычных координатах Минковского,
то Н+(9) =9'',
если 9 есть х° = -[1 + (х1)2-)- (х2)2 + (х3)2]'К то Н-{9) = 0, но Н+(9)
определяется как х° -
Глобальной гиперповерхностью Коши (или ГГК) для Ж называется
полупространственноподобное множество 9 (обычно - гладкая
гиперповерхность), для которого Н+{9) и Н-{9) пусты. Другими словами, 9
пересекает каждую продолжимую временноподобную кривую в Ж. Эквивалентное
условие того, чтобы полупространственноподобное множество 9 было ГГК,
состоит в том, что 9 должно пересекать каждую продолжимую световую
геодезическую в Ж по непустому компактному множеству. Это вытекает из
последующего рассмотрения структуры горизонтов Коши. Нетрудно видеть, что
пересечение световой геодезиче-
= - [(х>)2+ (х2)2 + (х3)2 ]¦/>.
