Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
прохождения через волну в точке Q. Однако имеется одна исключительная
световая геодезическая а, проходящая через Р, а именно х = у - 0, v =-
а"1, которая никогда не пересекает волну вообще. Соответственно, световая
геодезическая р, проходящая через Q и определяемая как х-у - 0, v = -а~\
не переходит в другую половину пространства. Таким образом, две про-
должимые световые геодезические аир являются
9. ГОРИЗОНТЫ
127
предельной конфигурацией для последовательности одиночных световых
геодезических, проходящих через Р и Q. (Таким образом, пространство
световых геодезических здесь не является хаусдорфовым.
Пространственноподобная ГГК должна пересекать каждую световую
геодезическую последовательности только один раз. Следовательно, она
должна была бы встретить предельную пару а, |3 только в одной точке.
Однако обе геодезические а, р не могут быть пересечены, как это требуется
для ГГК. В терминах рис. 32 можно сказать, что любая бескраевая
пространственноподобная гиперповерхность, проходящая через Р,
захватывается внизу светового конуса прошлого для точки Q и никогда не
достигает р. Легко также установить отсутствие
полупространственноподобной ГГК. (Рассмотренный пример можно конформно
изобразить как часть статической вселенной Эйнштейна. В этом случае
отсутствие ГГК вытекает не из про-странственноподобности <!7, а из того
факта, что Ж содержит световую геодезическую во внутренней области Ж.) В
более общем случае конформных плоских волн, таких, как чисто
гравитационные плоские волны, ГГК отсутствует в сущности по той же
причине, что и в рассмотренном примере [77], но ситуация становится
несколько сложнее из-за астигматизма при фокусировании.
В качестве последнего примера в этом разделе рассмотрим пустой мир Тауба
- НУТ1), описанный Мизнером [59, 61, 63, 105, 118*, 119*]. В данном
случае пространство-время Ж есть топологически S3 X Е1 (но конформно
отличается от вселенной Эйнштейна). Имеется выделенное
пространственноподобное сечение 9" с максимальным собственным объемом,
метрика которого есть метрика 3-сферы (рис. 33). Однако 4-мерная
геометрия на 9> не обладает полной вращательной симметрией S3. Тензор
Вейля отличен от нуля, главные световые направления попарно совпадают
{22} [ср. с (7.6)]. Ортогональное проектирова-
') Мир НУТ - мир Ньюмана - Уцти - Тамбурино.-Прим,
перев.
128
9. ГОРИЗОНТЫ
Рис. 33. Модель Тауба ¦ НУТ.
¦9
¦Н+(У)
ние на 9 этих световых направлений дает нам нигде не исчезающее на 9 поле
линейного элемента. (В каждой точке 9 два световых направления
проектируются как диаметрально противоположные.) Эти линейные элементы
тангенциальны к конгруэнции больших кругов на S3, которые образуют
множество параллелей Клиффорда. Следовательно, эти круги образуют
расслоение Хопфа S3. Остающаяся симметрия представляет собой транзитивную
4-па-раметрическую группу.
Будем передвигать наше сечение вверх параллельно самому себе на рис. 33,
сохраняя эту симметрию. Мы получим похожие пространственноподобные
сечения, но с меньшим объемом S3, Наконец, этот объем уменьшается до нуля
[в соответствии с эффектом Райчаудури; ср. с (7.40) - (7.47)], но вместо
сжатия в точку мы просто получим Н+(9), которое является здесь компактной
световой гиперповерхностью, порожденной световыми геодезическими,
образующими множество параллелей Клиффорда на Н+(9) ~S3,
-н~т
9. ГОРИЗОНТЫ
129
Позади Н+(9') сечения становятся временноподобными') и поэтому содержат
замкнутые временноподобные кривые, явно нарушая тем самым причинность.
Световые и временноподобные геодезические, направленные в будущее и
берущие свое начало на 9Р, распадаются на два класса. Есть такие, которые
попадают в часть Ж, находящуюся за Н+(9') [и, следовательно, пересекают
Н+(9}) в определенной точке], и такие, которые навиваются спирально,
асимптотически приближаясь к Я+(У). Кривые второго класса имеют конечную
аффинную длину в направлении будущего, так что модель не является
геодезически полной. Мизнер показал, что довольно удивительным образом
может быть реализовано альтернативное продолжение на Нл.(9>) и за ним,
отличное от изображенного на рис. 33. Кривые, которые прежде пересекали
Н+{9>), теперь навиваются спирально, в то время как большинство
геодезических, которые прежде навивались, теперь пересекают новое HJr(9>)
и попадают в новое продолжение. Оба продолжения являются аналитическими,
но могут быть осуществлены одновременно лишь ценой отказа от требования,
чтобы Ж было хаусдорфовым многообразием [59, 61, 118*]. Поведение модели
на Н-(9>) в точности аналогично поведению на Я+(5Р) (рис. 33). Модель
оказывается чрезвычайно неустойчивой в окрестности Н±{9>) относительно
малых возмущений в начальных условиях на 9". Однако поучительно то, что
она проявляет специфические свойства, которые должны приниматься во
внимание при изучении более общих ситуаций.
¦) Эти сечения являются компактными лоренцовыми 3-многообразиями
рассмотренного Авезом типа [3]. Всякая замкнутая временноподобная кривая
