Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
геодезической, соединяющей Р и R, тесно связано с тем фактом, что R лежит
вне #+[/+(Р)], что будет видно из разд. 11.
9. ГОРИЗОНТЫ
123
Рис. 30. Различные типы поведения моделей Фридмана во времени при Л = 0.
В космологических приложениях наиболее часто изучаются модели Фридмана с
метрикой
ds2 = dt2 - R2d2>2. (9.18)
Здесь dl>2 обозначает метрику единичной 3-сферы (?=1), или евклидова 3-
пространства (? = 0), или единичного гиперболического 3-пространства
(Лобачевского) (k - -1). Величина R - R(t) удовлетворяет уравнениям
-|- npR3 = М = const > 0, (9.19)
^ = S + {""-*. (9-20)
которые соответствуют тензору энергии-импульса "пыли" (т. е. идеальной
среды без давления):
Tab = p(t)tJb, (9.21)
где
ta = Vat- (9.22)
Решения уравнения (9.20) при К = 0 изображены на рис. 30 (их обращения во
времени также являются решениями, но они не согласуются при k ^ 0 с
наблюдаемым расширением вселенной). Отметим, что только в том случае,
когда пространственные сечения обладают положительной кривизной (и,
следовательно, они компактны), модель коллапсируют ко второй
сингулярности R = 0. (Посредством отождествлений пространственные сечения
можно сделать компактными и в случаях k ^ 0, однако это достигается ценой
уменьшения глобальной изотропии.)
124
9. ГОРИЗОНТЫ
Рис. 31. Модели Фридмана с k <10, к = 0 как конформные части вселенной
Эйнштейна.
Фридмановские модели также могут быть представлены как конформные
подмножества статической вселенной Эйнштейна. Примем к - 0. Случай k > 0
напоминает ситуацию для мира де Ситтера (рис. 26); отличие состоит лишь в
том, что Q = oo на 3f± вместо П = 0. Случаи k ^ 0 изображены на рис. 31.
В обоих случаях пространственноподобно с Q = оо, и 2f + - световое с О =
0, При k - 0 имеем УаП = 0 на У+ и /° является точкой. Но VaQ Ф 0 при k <
0, и /° есть S2. Все фридмановские модели содержат ГГК и обладают
горизонтами частицы для всех временноподобных кривых.
Наконец, рассмотрим два примера, в которых отсутствуют ГГК, хотя и по
разным причинам. Во-первых, рассмотрим волну с плоским фронтом, метрика
которой [15, 28, 77]
ds2 = 2 {du + Н (v, х, у) dv} dv - dx2 - dy2. (9.23)
Область изменения действительных переменных и, v, х, у неограничена.
Неисчезающие компоненты тензора кривизны для (9.23) определяются
посредством
?Н_ _VH_ ,
дх* • дхду ' дуг '
9. ГОРИЗОНТЫ
125
Метрика удовлетворяет уравнениям Эйнштейна в вакууме с Я=0 (и, таким
образом, представляет собой чистую гравитационную волну), если
Но если условие (9.25) не налагается, то (9.23) описывает более общую
ситуацию комбинированной гравитационно-электромагнитно-нейтринной волны.
Все семь главных световых направлений при этом совпадают. Если Н
квадратично по х, у, то мы получаем частный случай плоской волны. Многие
плоские волны геодезически полны [28, стр. 96].
Если Н = 0 в некоторой области, то мы имеем там мир Минковского.
Фактически мы можем выбрать Н нулевым всюду кроме некоторого
ограниченного интервала v0 < v < щ. Тогда мы получим волну типа
"сэндвича" [10]. Экстремальным случаем является идеализированная
ситуация, когда волна становится бесконечно малой по длительности
(скажем, v0, Hi-*0) и производит ненулевой результирующий эффект. Функция
Н становится дельта-функцией по v:
Подставляя (9.26) в (9.23), мы получаем метрику, которая не удовлетворяет
условиям, обычно накладываемым на пространство-время с дельта-функцией в
кривизне [как это получается в (9.24)], поскольку в данном случае
компоненты метрического тензора включают дельта-функции. Можно
преобразовать координаты так, чтобы новые компоненты метрического тензора
были функциями класса С0 от координат. Но приведенная форма удобней, так
как ведет к конструкции многообразия, получаемой с помощью "ножниц и
клея" [80]. Разделим мир Минковского с метрикой
на Jl~ (v < 0) и М+ (v > 0), выбрасывая световую гиперплоскость v = 0.
Присоединим теперь границу v = 0 к каждой половине и отождествим две
половины так, чтобы каждая из них выглядела "перевер-
(9.25)
H(v, х, y) = 6(v)h(x, у).
(9.26)
ds2 = 2 dudv ~ dx2 - dy2
(9.27)
126
9. ГОРИЗОНТЫ
Рис. 32. Плоская волна с амплитудой в виде дельта-функция. Обе половины
пространства плоские, но присоединены с перевертыванием.
нутой" с точки зрения другой (рис. 32). Это достигается переходом
х -> х, у~+у, и -> и + h (х, у) (9.28)
от М~ к Jt+ на их общей границе и = 0. Скачок коор-
динат в (9.28) в точности соответствует (9.26), подставленному в (9.23).
Для простоты рассмотрим случай электромагнит-, ной плоской волны. Тогда
мы можем принять
h (*, у) = а {х2 + у2), (9.29)
где а - const > 0. Световой конус точки Р е Ж~ с координатами и = х = у =
0, v = - а-1 определяется уравнением
2u(v + а~1)-х2~{- у2. (9.30)
Вследствие (9.28) и (9.29) это согласуется с
2 u{v - а~1)~х2 + у2 (9.31)
при v - 0. Уравнение (9.31) дает световой конус
точки Q <= Л+ с координатами и - х = у = 0, v = a~l. Это показывает, что
световой конус точки Р (в этом примере) опять фокусируется после
