Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
9. ГОРИЗОНТЫ
119
ской с ППГ должно быть связным. Легко установить одно свойство
пространства-времени, содержащего ГТК 9: топологически мир является
произведением 9 X Е\ где Е1 могут быть представлены временноподобными
кривыми. Труднее доказать1), что все 9 топологического произведения также
могут служить ГГК для Ж. Оказывается также, что существование ГГК
эквивалентно условию "глобальной гиперболичности" Лере 2).
Ясно, что обычные сечения "постоянного времени" статического мира
Эйнштейна и мира Минковского являются ГГК. Все миры, которые обладают
временноподобной конформной бесконечностью б/, не содержат ни одной ГГК
(рис. 23). Всякая точка Р вблизи 9 лежит на временноподобных кривых,
которые и в прошлом и в будущем достигают 9 в некоторой окрестности Р (с
точки зрения Ж). Таким образом, любое 9, претендующее на роль ГГК, должно
было бы проходить вблизи Р. Поскольку это рассуждение применимо ко всем
точкам вблизи 9, причем некоторые из них имеют между собой конечный
временноподобный интервал, то отсюда видно, что искомого
полупространственноподобного 9 не существует.
Деситтеровский и антидеситтеровский миры являются точными примерами, в
которых 9, соответственно, пространственноподобно и временноподобно.
Чтобы описать эти модели, рассмотрим гиперсферы в пятимерном
псевдоевклидовом пространстве с двумя типами сигнатуры. Мир де Ситтера
(рис. 24) определяется как
С2=- F2-f W2 + Xl + Y2 + Z2, (9.14)
где метрика есть
ds2 = dV2 -dW2 - dX2 - dY2 - dZ2. (9.15)
Антидеситтеровский мир (рис. 25) является универсальным накрывающим
многообразием
C2 = V2+W2-X2~Y2-Z2 (9.16)
•) Одно из доказательств этого факта дано Зейфертом [98].
2) Это будет показано в другой работе.
120
9. ГОРИЗОНТЫ
Рис. 25. Антидеситтеровская модель.
с метрикой
ds2 = dV2 + dW2-dX2-dY2-dZ2. (9.17)
Топологически мир де Ситтера есть S3 X Е1 и обладает сечениями S3,
которые являются ГГК. Но каждая временноподобная кривая имеет горизонт
частицы и горизонт событий. Мы можем представить пространство-время
конформно на статической вселенной Эйнштейна в виде области между двумя
параллельными пространственноподобными сечениями (рис. 26). Очевидным
образом 3* и 3~ являются пространственноподобными. Модель стационарной
вселенной есть просто "верхняя половина" модели де Ситтера (см.,
например, [97]), которую мы отрезаем, скажем, гиперплоскостью V = W в
(9.14) (рис. 27), При этом световая граница остается в прошлом, так что
некоторые временноподобные кривые (например, мировые линии частиц среды)
не обладают горизонтом частицы. Сечения V - W = const > 0 в (9.14) дают
(плоские) гиперповерхности постоянного времени в стационарной модели. В
отличие от деситте-ровского и антидеситтеровского миров эта модель не
является геодезически полной,
Рис. 26. Модель де Ситтера как конформная часть вселенной Эйнштейна.
Модель Фридмана с X = 0, k > 0 представляется аналогичным образом.
Рис. 27. Модель стационарной вселенной.
Рис. 28. Антидеситтеровская Рис. 29. Точки Р и R нельзя модель как
конформная часть соединить геодезической, вселенной Эйнштейна.
122
9. ГОРИЗОНТЫ
Гиперсфера (9.16) имеет топологию Sl X Е3 и п0' этому она неодносвязна.
Она обладает замкнутыми временноподобными кривыми (S1), которые могут
быть разомнуты в универсальном накрывающем многообразии. Тогда
"развернутая" антидеситтеровская модель, представленная конформно на
статической вселенной Эйнштейна S3 X Е1, становится просто полусферой S3,
умноженной на Е1 (рис. 28). Ее топология есть ?4, но конформная структура
глобально отличается от пространства-времени Минковского. В данном случае
мы имеем временноподобное 9, и поэтому каждое полупространственноподобное
9 имеет горизонт Коши. С другой стороны, ни одна из продолжи-мых
временноподобных геодезических не обладает горизонтом частицы или событий
(хотя некоторые продолжимые временноподобные кривые обладают им).
Существование горизонтов Коши связано с интересной чертой
антидеситтеровской модели. Пусть Р - произвольная точка на гиперсфере
(9.16), a Q - диаметрально ей противоположная. Любая плоскость,
проходящая через PQ, пересекает гиперсферу по "большому кругу", который
является геодезической. Нетрудно видеть, что всякая временноподобная
геодезическая на гиперсфере, проходящая через Р, должна также проходить и
через Q, но пространственноподобные и световые геодезические уходят через
Р на бесконечность и не попадают в Q. Мы можем перейти к "развернутому"
антидеситтеровскому пространству (универсальное накрывающее
пространство). Для простоты выберем Р и Q как можно ближе друг к другу,
причем так, чтобы Р Q (рис. 29). Пусть точка R отделена от Q
пространственноподобной геодезической. Тогда легко убедиться, что не
существует геодезической, соединяющей Р и R [17]. (От Р до R можно дойти
за два шага, используя ломаную временноподобную геодезическую.)
Антидеситтеровская модель геодезически полна, так что ситуация здесь
сильно отличается от случая положительно определенных метрик. Отсутствие
