Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
предполагается существование концевых точек (в которых кривая должна быть
гладкой и поэтому продолжимой), за исключением случаев, когда кривая
продолжается неограниченно в том или в ином направлении. (В противном
случае мы бы имели дело с открыто-замкнутой кривой.) Если рассматривается
само отображение f, то кривая является параметризованной. Кривая
называется временноподобной (соответственно - непространственноподобной),
если все касательные векторы отображения f яв-
112
9. ГОРИЗОНТЫ
ляются временноподобными (соответственно - временноподобными или
световыми). Непространственноподобная кривая имеет естественную
ориентацию, называемую ориентацией в будущее, которая индуцируется
временной ориентацией Ж.
Если Р и Q - две точки Ж, то (см. [50]) обозначение Р <С Q используется
тогда, когда существует временноподобная кривая с начальной точкой Р и
конечной точкой Q. Обозначение Р Q используется тогда, когда либо Р = Q,
либо существует непространственноподобная кривая от Р до Q. Если Р <( Q и
Q -С R или Р < Q и Q <( R, то Р < R. Если Р <( Q (и P^Q), тогда либо Р <
Q, либо существует световая геодезическая от Р до Q (либо и то, и
другое). Хронологическое будущее и прошлое точки Р обозначаются
соответственно как
/+ (Р) = {Х : Р < X}, /_ (Р) = {X: X < Р}. (9.1)
Как легко видеть, они являются открытыми множествами. С другой стороны,
множества
/+(Р) = {Х:Р<Х}, /_(Р) = {Х:Х<Р} (9.2)
не обязательно замкнуты. Примером может служить мир Минковского с
выброшенной точкой, в котором Р расположено на световом конусе
выброшенной точки. В качестве другого примера можно рассмотреть плоскую
волну [см. (9.23) - (9.31)]. Если Ж- произвольное подмножество Ж, то его
хронологическое будущее и прошлое обозначаются соответственно как
/+т= и /+(Р), /_т= имр)- (9-з)
Эти множества также являются открытыми. Их замыканиями являются:
т+m =={*:/+(*)<=/+та
7_ [Ж] = {X: /_ (X) С- /+ [X]}.
9. ГОРИЗОНТЫ
113
Доказательство (9.4) тривиально, и мы его не приводим. Из (9.4) получаем
*) границы /± [Ж\
/+[Ж] = {Х:1+(Х)^1+[Ж], Хф1+[Ж]},
i_W] = {X:I"{X)czI_W], Хф1_[Ж]}.
Множество вида /+[Ж] будем называть полупро-странственноподобной границей
(сокращенно ППГ). Оно является симметричным по времени, так как
/+т=/_т, (9.6)
где 9 есть дополнение 1+[Ж]ъ Ж. И наоборот, (9.6) выполняется, если 9 -
произвольное подмножество Ж, а Ж является дополнением к /_ \9]. Вообще,
полупространственноподобное множество - это такое подмножество множества
Ж, у которого никакие две точки X, Y не удовлетворяют соотношению У.
Ясно, что множество ППГ - полупространственноподобное. Хотя множества ППГ
не обязательно должны быть гладкими подмножествами Ж, они обладают
некоторыми привлекательными свойствами, которые будут играть важную роль
в "сингулярных теоремах" в разд. 10 и 11. Пока мы просто отметим, что
Любое ППГ является тРЕХмерным, класса С0, подмногообразием М (без
границы) и представляет собой ЗАМКНУТОЕ МНОЖЕСТВО. (9.7)
Чтобы убедиться в том, что ППГ локально гомео-морфно ?3, рассмотрим малую
окрестность в нормальных координатах ха произвольной точки Р,
принадлежащей ППГ, причем Vax° временноподобно и Va*'
пространственноподобно, i ф 0. Любая кривая х' = const, i ф 0, достаточно
близкая к Р, пересекает /+(Р) и /-(Р). Следовательно, она пересекает ППГ
в определенной точке. Это дает локальный гомеоморфизм на открытое
множество R3 чисел (х1, х2, х3) (рис. 19).
') Обозначение si- с: Ш подразумевает только, что si является
подмножеством Ё, но не обязательно собственным подмножеством (так что <=
si).
114
9. ГОРИЗОНТЫ
Рис. 19. Любая полу-пространственноподобная граница ППГ локально
гомеоморфна Е3.
ШИН
Теперь мы можем определить четыре типа горизонтов. Пусть у-произвольная
временноподобная кривая в Jt. Тогда (если соответствующее множество не
пустое)
Горизонт событий для у есть /_ [у],
(9.7а)
Горизонт частицы для у есть /+ [у].
Если кривая у имеет конечную точку F, то горизонт событий для нее есть
просто I-(F), и если у имеет начальную точку Р, горизонт частицы для нее
есть h(P). Мы будем называть эти случаи тривиальными. Пр имером
пространства-времени, не содержащего нетривиальных горизонтов события и
частицы, является статический мир Эйнштейна, рассмотренный в разд. 8.
Однако мир Минковского обладает нетривиальными горизонтами события и
частицы, например, в случае, когда у изображает мировую линию тела,
движущегося с постоянным ускорением. [См. (2.8) - (2.10) и рис. 6. Если у
есть 2=const > 0, Х=У=0, то z-t обозначает горизонт событий для у, a z--t
есть горизонт частицы для Y-] С другой стороны, ни одйа из
временноподобных геодезических в пространстве-времени Минковского не
имеет горизонта событий или частицы. Физически горизонт событий кривой Y
разделяет наблюдаемые и ненаблюдаемые события для наблюдателя, мировая
линия которого есть у. Аналогично горизонт частицы разделяет области
9. ГОРИЗОНТЫ
Мб
Рис. 20. Если У про-странстпенноподобно, всякая временноподобная кривая
