Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
$ 126. СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ 315
Чтобы можно было применить критерий (126.7), надо задать в явном виде
зависимость подынтегрального выражения от формы интервала и от состава
жидкости.
Для этого, во-первых, перепишем выражения (95.15) для собственного
давления ро и собственной макроскопической плотности роо жидкости в
соответствии с принятой выше формой интервала:
в*, _ "-"(.$-+? + ? + ???),
(126.9)
8лрао= - е~" (у" +~ +
dPo _ Роо + Ро ..г
dr 2
Во-вторых, воспользуемся формулой (51) из Приложения III, которая
определяет бесконечно малый собственный пространственный объем жидкости,
расположенный между радиусами г и r-\-dr:
з_
и0 = 4яе2 "г" dr. (126.10)
С ее помощью выразим собственную энтропию этого сферического слоя
жидкости, определяемую локальным наблюдателем, в следующем виде:
з_
S0 - 4жр0е2 г2 dr. (126.11)
Обе величины, введенные с помощью (126.10) и (126.11), естественно,
являются бесконечно малыми. Далее, отметим, что собственная энтропия
элемента жидкости зависит от собственной его энергии, объема и состава
тем же самым образом, что и в классической термодинамике (ср. с (60.4)).
Следовательно, когда нам надо будет вводить вариацию выражения (126.11) в
условие равновесия (126.7), мы сможем написать:
6 пп, 026.12)
где Т0-собственная температура данного слоя жидкости, измеряемая
локальным наблюдателем; Е0 - собственная энергия этого слоя; щ, П2 и т.
д.- концентрации различных веществ, выраженные в молях, определяющие
состав жидкости. Далее, согласно
S 5П
т 8Е0
Ро
То
8v0 +
dS0
?o.t>o
dS0
дп.
n JE0
316
ГЛ. IX. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА
(126.9) оудем считать, что б?о в этом соотношении имеет вид
Тогда, подставляя найденные выражения в (126.11), окончательно находим
энтропии по концентрации i-й компоненты, взятая при постоянной плотности
энергии и постоянном удельном объеме; последнее обстоятельство в правой
части обозначено подстрочным индексом р., так как плотность энергии и
удельный объем определяются величиной р и ее производными.
Используя эти соотношения, мы можем переписать полученное ранее условие
равновесия (126.7) в виде
Упростим это выражение обычным способом: проинтегрируем его по частям и
опустим члены, обращающиеся в нуль из-за граничных условий; в самом деле,
подставляя
1
ег Ч
/ ' \
~~2~ (бр" -г -тр (r)Р; + ~ бр'j + 2яр00е2 бр r2dr, (126.13)
а бо0, в соответствии со (126.10), равняется
(126.14)
(126.15)
где (д<р0/5с?)ц-частная производная от собственной плотности
I
е
2 Г0
2
(бр" -1- -у бр' + -у- бр') +
f 4я бc°i е2 Д гЧг = о.
I
6р"=-±.(бр'), бр' (бр)
§ 127. ХИМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ В ЖИДКОЙ СФЕРЕ
317
и используя граничные условия (126.8)
6р'-6р=0 (при г, равном гх и г2), нетрудно найти, что
f
6с? е2 * гЧг = 0. (126.16)
Это и есть записанное в окончательном виде условие термодинамического
равновесия для жидкой сферы.
В процессе получения этого выражения мы убедились в том, что вариации
собственной энергии б?о и собственного объема бос, появляющиеся в
(126.12), обе внесли вклад в вариацию метрической переменной р; вариации
же количества молей различных компонент 6nh входящих в состав
рассматриваемой жидкой оболочки, ограниченной радиусами г и r-\-dr,
приводят к вариациям 6с? , которые определяют изменения концентрации для
каждого значения г. Так как Е0 и о0 первоначально были введены как
переменные, которые не зависят от значений nh определяющих состав, можно,
очевидно, считать, что вариация бр в уравнении (126.16) не зависит от
6с?.
§ 127. Химическое равновесие в гравитирующей жидкой сфере
Теперь мы применим общее условие равновесия, полученное в предыдущем
параграфе, к исследованию химического равновесия между реагирующими
веществами, которые находятся внутри гравитирующей жидкой сферы.
Поскольку вариации бр и 6с° в (126.16) следует рассматривать как
независимые, ясно, что второй интеграл в этом выражении можно считать
равным нулю, а это возможно лишь при условии
которое должно выполняться для любого значения г. Индекс р в этом
выражении указывает на то, что дифференцирование производится при
постоянных значениях плотности энергии и Удельного объема. Сравнивая
(127.1) с (60.15), убеждаемся в том, что полученное соотношение совпадает
с классическим
(127.1)
318
ГЛ. IX. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА
условием химического равновесия, если считать, что плотность энтропии и
значения концентраций измеряются локальным наблюдателем, покоящимся в
рассматриваемой жидкости. Таким образом, с точки зрения локального
наблюдателя, условие химического равновесия между реагирующими веществами
в любой точке гравитирующей жидкой сферы не отличается от найденного
ранее в классической термодинамике.
Это еще один пример того, как часто релятивистский анализ, проводимый
методом введения локального наблюдателя, дает те же выводы, что и
классическая теория. Правда, этого и следовало ожидать, поскольку в
аксиоматическую основу общей теории относительности с самого начала был
