Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
заложен принцип эквивалентности, и им вполне надежно можно
руководствоваться в тех случаях, когда мы уверены, что рассматриваемое
явление не зависит от производных от g^v выше первой.
Выяснение того обстоятельства, что положение в гравитационном поле прямо
не влияет на условия химического равновесия, весьма важно, так как при
рассмотрении моделей звезд это обычно принимают без доказательства. В
качестве следствия этого обстоятельства, отметим, что полученные ранее
критерии равновесия между водородом и гелием, а также между веществом и
излучением применимы и к звездам. Следовательно, трудности, с которыми мы
столкнулись при нахождении относительных концентраций, остаются и здесь.
Мы убедимся в последней главе, что условия химического равновесия в
статических космологических моделях подобны обсужденным в этом параграфе.
§ 128. Тепловое равновесие в гравитирующей жидкой сфере
Мы можем также использовать общее условие термодинамического равновесия,
полученное в § 126, для исследования распределения температуры в жидкой
сфере, которая пришла в состояние теплового равновесия. Воспользуемся
опять-таки тем, что вариации бр. и б с? в (126.16) следует считать
независимыми. Тогда можно сделать вывод, что первый интеграл в этом
выражении равен нулю. Последнее, однако, может выполняться лишь при том
условии, что во всех точках внутри сферы имеет место соотношение
_TL {е^ V - 4lt (Pot±.3?sL ет ** г2. (128.1)
Чтобы представить соотношение (128.1) в виде, удобном для интегрирования,
преобразуем его правую часть: подставим из (126.9) в сумму (роо+Зро)
выражение для роо, а Зро заменим
§ 128. ТЕПЛОВОЕ РАВНОВЕСИЕ В ЖИДКОИ СФЕРЕ
319
первым выражением для р0 и удвоенным вторым выражением для ро. В
результате получим
(д V- (-и=- (- +-) г2 =
dr V dr \Т0 )\ Г0 V 2 1 4 ' 4 г J
(128.2)
Первый интеграл этого уравнения, очевидно, выглядит так:
1,1 , 4" ^ /1
е (V" fiV
То V 2 1 4 ' "
1 е d {Л" • 0
II ч о dr Iе rl
••"'•''•-Я?г)-ЧЧЛ'*')+*
где В - постоянная интегрирования. Это выражение можно переписать в
эквивалентной форме:
nar^-lr-^- Ве * г** Т°• (128-3>
Соответствующие подстановки из (126.9) позволяют привести его к виду
1 1
ц v
d In То _ 1 dp0 Be 2 2 Гр
dr Роо 4" Ро dr
А
Далее, если из физических соображений следует, что в
центре
сферы (при г=0) производные dToldr и dpoldr равны нулю,
а Т0 отлична от нуля и остальные функции г конечны, то ясно, что
постоянную В следует приравнять нулю. Тогда последнее выражение для
зависимости собственной температуры от координаты внутри статической
жидкой сферы, находящейся в тепловом равновесии, задается следующими
уравнениями:
d In Г0 _ 1 dv
dr 2 dr ' (128.4)
d In Tq 1 dpQ /1 no e\
-ir-~-^T7o~dF' (l28-5)
и после второго интегрирования в виде соотношения
Т0е2 V = T0VJ7i = C, (128.6)
где С - еще одна постоянная интегрирования.
320
ГЛ. IX. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ термодинамика
Любопытно было бы, конечно, исследовать, возможны ли физически интересные
решения при отличной от нуля постоянной интегрирования В. Однако
очевидно, что найденные простые соотношения вполне пригодны в случае
обычных непрерывных распределений.
Первое, что мы отметим, подводя итоги,- это тот важный вывод, что
собственная температура жидкости, измеряемая локальным наблюдателем,
использующим обычные методы тепловых измерений, не может быть постоянной
повсюду в жидкой сфере, которая находится в состоянии теплового
равновесия; напротив, собственная температура зависит от значения
гравитационного потенциала в данной точке, увеличиваясь по мере
приближения к центру сферы. Этот вывод, конечно, очень отличается от
классического, данного в § 61, согласно которому однородная температура
есть необходимое условие теплового равновесия. Напомним, однако, что с
точки зрения теории относительности все формы энергии обладают весом, так
же как и массой. Тогда заключение о том, что необходим температурный
градиент для того, чтобы отсутствовал тепловой поток из областей с более
высоким гравитационным потенциалом в области с более низкими его
значениями, кажется вполне естественным [79].
Второе обстоятельство, которое надо отметить,- это то, что реальное
воздействие гравитации на вид равновесного распределения температуры
должно быть крайне малым, исключая случай сверхсильных полей. Так, в поле
с интенсивностью, равной интенсивности гравитационного поля Земли у ее
поверхности, изменение температуры при перемещениях в радиальном
направлении очень мало:
(128.7)
Таким образом, становится понятным, почему до сих пор не удалось получить
никаких данных о влиянии гравитационного поля на тепловой поток.
В действительности не ясно, достаточно ли велики эти новые эффекты, чтобы
их стоило учитывать, даже в теории звездных структур. В самом деле,
нетрудно установить с помощью (128.5), что относительное повышение
температуры по мере приближения к центру сферы, находящейся в состоянии
теплового равновесия, меньше относительного повышения давления; оно даже
