Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
много меньше для обычного вещества, плотность которого роо велика по
сравнению с давлением р0. Тем не менее возможно, что новые критерии
теплового равновесия все же окажутся полезными в связи с неоднородными
космологическими моделями, в которых происходят процессы теплового обмена
между различными частями.
§ 128. ТЕПЛОВОЕ РАВНОВЕСИЕ В ЖИДКОЙ СФЕРЕ
321
Третье замечание в связи с результатами этого параграфа состоит в том,
что связь между температурой и гравитационным потенциалом можно получить
с помощью одних только принципов механики для случая распределения
абсолютно черного излучения. Так, для сферически симметричного
распределения абсолютно черного излучения, которое можно представить
себе, например, как излучение, окружающее гравитирующую сферу из плотного
вещества, можно заключить из уравнений (126.9), что давление должно
повышаться во внутренних слоях, чтобы компенсировать вес излучения.
Уравнения механики (126.9) позволяют найти связь между скоростями
возрастания этих величин, а именно:
dP о Роо Т~ Ро dv t, по оч
~dF----------2-ИГ' (128-8>
Излучение черного тела характеризуется, однако, еще и законом Стефана -
Больцмана (§65), связывающим непосредственно механические величины,
плотность и давление, с термодинамической величиной-температурой:
Роо = аТо
и (128.9)
где а - так называемая постоянная Стефана. Подставляя эти выражения в
(128.8), сразу получаем уже известное нам соотношение между температурой
и гравитационным потенциалом:
= (128-10)
Такая конкретная проверка общего соотношения, для получения которого
привлекался весь аппарат релятивистской термодинамики, дополнительно
убеждает нас, что обобщение термодинамики на основе общей теории
относительности выполнено нами вполне корректным образом.
В заключение напомним, что все результаты этого параграфа найдены для
специального случая статического сферически симметричного распределения
жидкости. Заметим также, что за величину v в условии теплового равновесия
(128.10) можно принять v, входящую в выражение (95.14), которое было
принято Для интервала специального вида. Можно также отождествить ее с v
из (95.12), так как в § 94 было показано, что величина v не изменяется
при переходе от одной формулы к другой.
^ Р. Толусп
322
ГЛ. IX. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА
§ 129. Тепловое равновесие в статическом поле общего типа
Выясним теперь, каковы условия теплового равновесия в более общем
статическом поле, создаваемом, например, некоторой твердой структурой. В
этом случае конечное стабильное состояние вовсе не обязано
характеризоваться сферической симметрией [72]. Чтобы найти условия
теплового равновесия в таком поле, предположим, что части системы,
температуры которых мы хотим сравнить, находятся в тепловом контакте
благодаря малым трубкам, которые содержат черное излучение, или же могут
быть приведены в тепловой контакт неким другим способом без существенных
изменений свойств системы. Такие трубки можно было бы называть
радиационными термометрами; определяя изменение радиационного давления от
одного конца трубки до другого, мы можем определить равновесное
распределение температуры в системе.
Будем считать, что интервал задан общей, справедливой в статическом
случае, формулой
ds2=g{jdxidxi-\-giidt2, (129.1)
причем условимся для пространственных координат пользоваться латинскими
индексами, в прочих же случаях будем употреблять греческие индексы. В
соответствии с обычным определением статической системы будем считать
потенциалы gu, ?24 и g34 равными нулю, а остальные gu и g44- зависящими
неким произвольным образом от пространственных координат х1, х2 и я3, но
не от временной координаты t. Заметим также, что при нашем выборе
интервала потенциал g44 обладает следующим простым свойством:
(129.2)
Найдем, пользуясь формулами из § 109, тензор энергии - импульса черного
излучения для поля, описываемого интервалом (129.1). Искомое выражение
имеет, очевидно, вид
= (Роо + Ро) -^Ро (129.3)
при дополнительном условии
роо=3/?о- (129.4)
Далее, замечая, что в случае статической системы полная макроскопическая
скорость радиационного потока должна
§ 129. ТЕПЛОВОЕ РАВНОВЕСИЕ В СТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ
323
;авняться нулю, пишем
dx1 dx^
ds ds
= 0 (i,/= 1,2,3). (129.5)
При данном выборе интервала четвертая компонента "скорости" имеет вид
^-^=тк=]^- (|296)
Подставив два последних выражения в (129.3), найдем единственные
неисчезающие компоненты тензора энергии - импульса:
T**=g**pm. (129.7)
Опуская индекс, получаем
Т) = g;aT'¦* = -giag':ap0 = -gCiP0,
Ti = gli T44 = g44g44Po0 = PoO'
Таким образом, единственными неисчезающими компонентами смешанного
тензора энергии - импульса являются
Т\ = Т\ = Т\ = - р0, Т\ = р00. (129.8)
Теперь мы полностью готовы к тому, чтобы с помощью законов релятивистской
механики, записанных в их обычной форме
а L sag- n
дх* 2 * дх(i ~U-
вычислить давление в нашем радиационном термометре. Положив в последнем
уравнении р=1 и подставив в него выражения
