Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
объема, определяемое локальным наблюдателем, а в правой части (в
соответствии с определением, данным в конце § 121)-сумма по всем
элементам теплоты, проходящим через границу в рассматриваемый объем,
причем каждый из элементов поделен на значение граничной температуры,
определенное в момент пересечения границы и измеренное наблюдателем,
находящимся на границе.
Если теперь выполнить второе интегрирование по всем элементам жидкости,
составляющим рассматриваемую систему, то ясно, что в правой части (124.2)
мы должны получить нуль:
X**
щг 4if Г3*) бя'вЛЛ!** > 0, (124.3)
.( Ш
так как по предположению мы интересуемся лишь такими переходами, при
которых в целом не происходит передачи теплоты через границу системы, а
наш способ определения Q0 и Т0 должен приводить к взаимному уничтожению
вкладов от соседних элементов внутри системы.
Таким образом, релятивистское второе начало термодинамики накладывает на
переходы системы из одного статического состояния в другое, происходящие
без изменений в окружающей среде, следующее условие:
dxi
(Р°1Г
Y'- g dx4dx2dx'i] ( ^ Фп [/- g dx'dx^dx3
(124.4)
Индексы х'4 и х"4 указывают на то, что значения интегралов берутся для
начального и конечного состояний системы соответственно.
Для того чтобы подчеркнуть аналогию этого выражения с тем, что мы имели в
классической термодинамике, мы можем
5 126. СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ 313
сто интерпретировать как условие, наложенное на "энтропию" S, в
соответствии с которым при переходах системы из одного статического
состояния в другое ее энтропия может лишь возрастать или оставаться
постоянной. Под величиной S при этом надо понимать полную
проинтегрированную собственную энтропию всех элементов жидкости,
составляющих систему:
S = 4>o~{j-V-gdx'dk2dx3. (124.5)
§ 125. Условия статического термодинамического равновесия
Пользуясь формулами, выведенными в предыдущих двух параграфах, мы можем
теперь выразить условия статического термодинамического равновесия в
конечной системе, которая не взаимодействует с окружающей средой, в виде
вариационного уравнения
"Ш Фо- 8dxldx2dx? = 0 (125.1)
с дополнительными условиями на границе системы
(125'2)
Первое из этих уравнений - условие максимальности рассматриваемого
интеграла, вытекающее из второго закона термодинамики, который утверждает
(см. (124.4)), что эта величина может лишь возрастать, если она вообще
изменяется при переходе системы из данного статического состояния в
другое статическое состояние (при условии, что система не взаимодействует
с окружающей средой). Второй же набор уравнений, как мы уже отмечали в §
123, выражает условие, достаточное для того, чтобы при изменении
внутреннего состояния системы взаимодействие с окружающей средой
действительно отсутствовало.
§ 126. Статическое равновесие в случае сферически симметричного
распределения жидкости
Если в жидкой системе действуют только силы гравитационного притяжения,
то состояние статического равновесия должно быть состоянием, обладающим
сферической симметрией. Мы специально рассмотрим этот случай, применив к
нему полученные выше критерии равновесия. Начнем с того/что перепишем
выражение для интервала (94.9):
ds2 = ~ е" (dx2+dt/2+dz2) +evdt2, (126.1)
314
ГЛ. IX. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА
где
ц = ц(г), v = v(r), г = Vx2 + У2 + г2, (126.2)
а изотропные координаты х, у, г, t выбраны так, чтобы пределы
интегрирования, включающие всю интересующую нас область, лежали бы на
реальной граничной поверхности, отделяющей эту область от окружающей
среды. Такого рода координаты были использованы в § 123 для получения
условий (125.2). Используя выбранную выше форму интервала, мы имеем
3,1 1
1Г 2^ 2 dt ~ 2 v / ю д д\
V-g = e и-7Г = е ; (126.3)
второе соотношение следует из равенства нулю пространственных компонент
"скорости" рассматриваемой жидкости. Подставляя Эти соотношения в (125.1)
и учитывая (125.2) и (126.2), получаем условие статического
термодинамического равновесия в виде
з
•Ш
Ф0е2 dxdydz = 0 (126.4)
при дополнительных условиях на границе области интегрирования
6p=6p' = 6p//=6v = 6v/=6v" = 0, (126.5)
где штрихи означают дифференцирование по радиусу
г = УX2 Т- Уг + 2г.
При нахождении условий равновесия мы вводим координаты х, у, z, t,
поскольку, как отмечалось выше, они того же типа, что применялись при
получении соотношений (125.2). Для упрощения дальнейших рассмотрений
лучше перейти к полярным координатам г, 0, ф, t. Прежде всего перепишем в
этих координатах выражение для интервала:
ds2=-е"(dr2-\-r2dQ2jrг2 sin2 Qdq>2)-\-evdt2, ,.чс с,
/ ч (120.0)
(1 = (!(/¦), v = v(r).
Выбирая затем область интегрирования в виде сферического слоя,
заключенного между радиусами т\ и г2, перепишем условия статического
равновесия в случае сферического распределения жидкости следующим
образом:
r> i_u
¦2 гЧг= 0 (126.7)
6 J 4яф0е
при дополнительных условиях
6p,=6|x/=6p"=6v = Sv/-Sv"=0 (в точках т\ и г2). (126.8)
