Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
(129.7) и (129.8), получим
дх1 \ PoV-g)------r(-gi<'PoV-g]-^
-^{gi4PooV-g)^ = 0,
что можно, очевидно, переписать следующим образом:
324
ГЛ. IX. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ термодинамика
Это уравнение, однако, легко упростить с помощью соотношения (39) из
Приложения III:
pH ~'1L J- giijHi" = = J_ А
(r) дх1 ° дх1 ° дх1 g дх1 *
которое позволяет сократить второй и третий члены в основном
уравнении и приводит к результату
дР о | Роо 4" Ро л л dg44 л
IF" 2-----S44 IF- = °-
Привлекая еще (129.2) и (129.4), получаем зависимость давления в
радиационном термометре от координаты Xх в следующем простом виде:
+ = (129.9)
Так как подобные соотношения легко найти и для других пространственных
координат, можно обобщить эту зависимость радиационного давления от
координат, выразив ее в чрезвычайно компактной форме:
Po(g44)2=const.
Если же подставить сюда давление р0, пользуясь законом Стефана -
Больцмана
1 т,4
Ро ^ >
то немедленно найдем искомое выражение для зависимости собственной
температуры от положения в произвольном статическом поле:
Т0У1^ = С, (129.10)
где величина С одинакова для всех частей системы.
Сделаем несколько замечаний, касающихся этого окончательного простого
результата.
Во-первых, сравнивая его с (128.6), убеждаемся в том, что условия
теплового равновесия в жидкой сфере можно рассматривать как частный
случай общего выражения, найденного для произвольного статического поля.
Поскольку первый результат был получен из принципов релятивистской
термодинамики, а второй- с помощью лишь законов механики (не считая
использования закона Стефана - Больцмана в окончательном выражении), их
тождественность еще раз подтверждает справедливость новой термодинамики.
Аналогичный факт отмечался в конце предыдущего параграфа.
§ i2B. ТЕПЛОВОЕ РАВНОВЕСИЕ В СТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ
325
Bo-втсрых, следует отметить, что избранный нами метод ис-следования
позволил доказать постоянство произведения Т0 лишь для точек, находящихся
внутри радиационного термометра. Однако, так как Т0 и gu- безусловно
непрерывные функции от координат внутри термометра, этот результат можно
распространить и на саму систему в областях ее контакта с термометром.
Отметим еще одно обстоятельство. В-ыше молчаливо допускалось, что в
изучаемую систему можно ввести радиационный термометр, связывающий ее
отдельные части, температуры которых мы хотим сравнить, не вызывая при
этом существенных возмущений в самой системе. Однако было бы теперь
весьма уместным подкрепить это предположение какими-нибудь доводами.
Рассмотрим для примера гравитационную систему, содержащую твердые тела.
Если мы желаем узнать внутреннюю их температуру с помощью описанного выше
метода, в этих телах надо прорезать щели для введения радиационных
термометров. Это неизбежно приведет к некоторым изменениям гравитационных
потенциалов guv, которые непосредственно связаны с распределениями
вещества и энергии в системе. Однако так как уравнения являются
дифференциальными:
8лТ|xv ~ tfnv 2~ ~Т
и выражают распределения вещества и энергии через тензор ?цУ и его первые
и вторые производные, то вполне разумно предполагать, что термометры
малых размеров не приводят к серьезным изменениям величин Было бы,
конечно, полезно продолжить исследование этого вопроса, так как могут
существовать какие-то интересные исключения.
И наконец, заметим, что несмотря на то, что в гравитационной системе,
находящейся в состоянии теплового равновесия, собственная температура Т0
изменяется от точки к точке, все же условие постоянства комбинированной
величины ga, предложенное в качестве критерия теплового равновесия, имеет
некоторое преимущество перед классическим принципом - простым условием
постоянства температуры Т0. В связи с этим напомним, что Эйнштейн в своих
ранних работах, посвященных изучению природы гравитации, делал различие
между так называемой истинной температурой (wahre Temperatur), которая
должна быть постоянной по всей системе в состоянии теплового равновесия,
п другой величиной, названной по предложению Эренфеста карманной
температурой (Taschentemperatur), которая зависит от величины
гравитационного потенциала. Это нововведение не сыграло в свое время
большой роли, так как оно было сделано до того, как было закончено
построение общей теории относительности. Тем не менее мы можем отметить,
что эти величины
326
ГЛ. ГХ. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ термодинамика
являются аналогами к введенным выше величинам T^gu и То. Подводя итоги,
заметим, что поскольку собственная температура Го имеет прямой физический
смысл благодаря тому, что может непосредственно измеряться локальным
наблюдателем, то, по-видимому, лучше не вводить различного вида
температуры, давая им различные наименования, а принять Г0 в качестве
фундаментальной величины, определяющей температуру в точке.
§ 130. О расширении в релятивистской термодинамике возможностей для
протекания обратимых процессов с конечными скоростями
Теперь рассмотрим возможный в релятивистской термодинамике класс
