Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
следует, что такие координаты можно ввести всегда. В естественных
координатах термодинамические законы, сформулированные с помощью
специальной теории относительности, остаются справедливыми в малой
окрестности изучаемой точки. Ковариантное дифференцирование в этих
координатах сводится к обычному дифференцированию, а величина У- g
равняется единице, так что левая часть в выражении второго закона (121.1)
преобразуется к виду
(фо -%) г (фо4г) +
+ ЧГ (ч>0 ¦%) -r-k ('Ро чг)} bx 6У 62б/- (121 -2)
Подставим сюда очевидные выражения
dx dt dy _ dt dz dt
47 " Ux~dT' ds " Uy 47' 4s U2 ds '
где ux, uv и иг - компоненты скорости жидкости, записанные в
§ 121. К ИНТЕРПРЕТАЦИИ ТЕПЛОТЫ
305
обычном виде. Тогда правая часть (121.2) переписывается так:
д
дх
^ф0- U]
dt
ds
д
ду
dt \ . д
) + -дГ
Фо'
dt
ds
UZ
д
St
Фо~Зг)]
Однако согласно специальной теории относительности энтропия инвариантна
относительно преобразований Лоренца, а следовательно, плотность энтропии
должна содержать множитель лоренцева сокращения ds/dt, так что можно
положить
dt
Ф= Фо-dP
где ф - плотность энтропии жидкости в выбранной нами системе координат.
Производя эту подстановку, получаем вместо при-веденного выше выражения
[4-(fpu^ + W ^ + ~k (ф"г) +
ot
Ьх by Ьг Ы,
что можно переписать следующим образом:
дф
dt
<3ф
~дГ
+ ~д:у и"
Лф
дг
иг +
или в виде
Цф
dt
-i- ф + Ф div u
ди"
дих дх ' ду
bx by bz bi,
02
Ьх Ьу bz Ы,
где под полной производной d(p/dt подразумевается скорость изменения
плотности энтропии в точке, движущейся вместе с жидкостью.
Вводя обозначение 6и для объема жидкости, совпадающего в данный момент с
координатным элементом пространства ЬхЬуЬг, получаем
d ф dt
bt
d
dt
(фбп) bt,
откуда находим окончательно dx*
Фо
ds
Y - g ЬхгЬх2Ьх3Ьх* = -jj- (ф bv) bt (121.3)
в качестве выражения левой части релятивистского второго закона (121.1) в
естественных координатах для данной точки.
Отсюда видно, что левая часть выражения для второго закона отразит то
возрастание за время bt, которое совершится с энтро-
306
ГЛ. IX. релятивистская термодинамика
гшей малого элемента жидкости, занимающей пространственный объем бябг/бг.
Далее, в соответствии с принципом эквивалентности к данной малой системе
можно применить специальную релятивистскую термодинамическую теорию и
связать возрастание энтропии в этой системе с теплотой и температурой
посредством соотношения
(121.4)
где бQ - теплота, поглощаемая этим элементом жидкости за время Ы при
температуре Т, причем все эти три величины заданы в выбранной нами
системе отсчета. Далее, так как отношение теплоты к температуре
инвариантно при преобразованиях Лоренца, то мы можем считать
6 q 6Q0
(121.5)
где 6Qo и Т0 - поглощаемая теплота и температура, которые измеряются
локальным наблюдателем в системе собственных координат данного элемента
жидкости.
Кроме того, в силу лоренцева сокращения элемента объема и лоренцева
удлинения времени можно написать
6у6^=6с"о6/о, (121.6)
где Svo - объем рассматриваемого элемента жидкости, измеренный в системе
собственных координат, а б^о- отрезок собственного времени, за который
происходит передача теплоты.
Итак, собирая все выражения (121.3) - (121.6), мы получим в естественных
координатах соотношение
V-SW6х°-ёх°6х* (121.7)
совпадающее по форме с постулированным выше релятивистским вторым
законом. При этом величина бQ0, стоящая в правой части, означает, как и
полагается, теплоту'(измеряемую локальным наблюдателем в данной точке в
определенный момент времени), которая втекает в элемент жидкости,
занимающий собственный объем би0, за интервал собственного времени 8t0.
Пространственные и временные интервалы при этом определены
так, что ___
бп0б/0 = биб/ = У-g 8хЧх'^хЧх*. (121.8)
Соотношение (121.7) выделено нами с помощью естественных координат. Тем
не менее, если вспомнить, что величина 6Qo, как мы ранее установили,
является скаляром, этот вывод становится справедливым для любой системы
координат. В самом деле, мы
§ 122. О ПРИМЕНЕНИИ СОПУТСТВУЮЩИХ СИСТЕМ КООРДИНАТ
307
не накладывали никаких ограничений на форму рассматриваемого элемента
жидкости, так как поглощаемая теплота для рассматриваемых масштабов
величин зависит лишь от произведения объема на временной интервал.
Далее, так как SQo- это теплота, поглощаемая определенным элементом
жидкости, то, как и в обычной термодинамике, тепловой поток надо
рассматривать относительно интересующих нас жидкости или рабочего
вещества, а не относительно выбранной системы пространственных координат.
И наконец, чтобы избежать неопределенностей, которые могут возникать при
интегрировании выражения второго закона, отметим еще одно обстоятельство.
Именно, при интегрировании второго закона каждый бесконечно малый элемент
теплоты, входящий в рассматриваемую систему, должен быть поделен на
температуру в месте пересечения им границы, отделяющей систему от
окружающей среды,- условие, которое накладывается и в обычной
