Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
Ньютона об этой системе, он, наверное, дал бы простой ответ: "Фотон
"слабеет", пока он достигает верхнего шкива,^ и его энергии недостаточно,
чтобы привести верхний атом в возбужденное состояние"- Но из квантовой
теории мы знаем, что фотон не может просто "ослабеть" согласно формуле
Планка, должна понизиться и его частота, когда он достигает верхнего
атома, чтобы она оказалась ниже частоты возбуждения последнего. Поэтому в
нижней части цепи часы должны идти во вполне определенном смысле
медленнее, чем в верхней, а метрика пространства-времени, как мы ее
определили, должна при наличии гравитационного поля быть иной, чем
стандартная^ метрика плоского пространства-времени. (Описанный "прибор"
является в высшей степени идеализированным, однако интересно отметить,
что такой эффект замедления хода часов действительно удалось наблюдать
НВП0СР(r)^' ственно на Земле; это сделали Паунд и Ребка |о J, использовав
эффект Мёссбауэра.) Заметим, что здесь использовался лишь чрезвычайно
слабый вариант принципа эквивалентности, а именно утверждение, что
энергия обладает хоть каким-нибудь весом. (Предельный вариант
эксперимента состоял бы в использовании л°-мезонов, а не атомов. При
распаде эти мезоны без остатка превращаются в фотоны, так что ковши
справа будут совсем пустыми. Поэтому наши рассуждения справедлив^, если л
-мезоны обладают
хоть каким-нибудь весом!)
Однако этого рассуждения еще недостаточно для доказательства
искривленности пространства-времени-метрика все же могла бы
соответствовать плоскому миру и лишь записываться в необычной форме. Факт
сферической симметрии гравитационного поля Земли, впрочем, сразу же
показывает, что это невозможно, так как потребовалась бы связь метрики
это-
2. СУЩНОСТЬ общей теории относительности 31
f Т
Рис. 6. Преобразование к равноускоренной системе отсчета. Кажущийся
барьер при Z = 0 не имеет физического смысла.
го поля со стандартной метрикой пространства-времени Минковского путем
преобразования, включающего ускорение, направленное от центра Земли
наружу симметрично во всех направлениях. Мы не будем разбираться более
подробно в этих вопросах, и мне лишь кажется поучительным ограничиться
анализом преобразования в пространстве-времени Минковского к "равномерно
ускоренной системе". Такой пример ясно показывает, как статическая
система мо~ жет обладать свойствами системы, в которой присутствует
гравитационное поле, хотя в действительности пространство-время остается
плоским. Этот пример в некоторых отношениях сходен с представлениями
Шварцшильда и Крускала сферически симметричного истинного гравитационного
поля, как это будет видно позднее {см. (10.1) и (10.4), а также работу
Бергмана [6а].}
32 2. СУЩНОСТЬ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Пусть х, у, z, t - стандартные координаты Минковского, в которых метрика
имеет вид
ds2 = dt2 - dx2 - dy2 - dz2. (2.8)
Введем новые координаты X, У, Z, Т, связанные с предыдущими в области г>
|/| (Z>0) преобразованием
х = Х, у = Y, z - ZchT, t = Z shT (2.9)
(рис. 6). Теперь метрика принимает вид
ds2 = Z2dT2-dX2-dY2 - dZ2. (2.10)
Метрика (2.10) имеет такой вид, как будто она описывает систему со
статическим гравитационным полем, роль потенциала которого играет Z. Член
(ZdT)2 в (2.10), стоящий на месте dt2, как будто говорит о "более
медленном течении времени" вблизи Z = 0. Любая частица, неподвижная в
системе X, У, Z, Т (т. е. обладающая постоянными координатами X, У, Z),
будет испытывать действие постоянной силы в направлении убывания Z, так
как мировая линия частицы есть "на самом деле" гипербола постоянного
ускорения в системе х, у, z, t. В системе X, У, Z, Т свободно падающая
частица падает в направлении Z == 0 с замедлением, так что к Z = 0 она
приближается лишь асимптотически (штриховая линия на рис. 6). При Z = 0
имеется как бы "барьер", который частицы неспособны преодолеть. Если
произвести обратное преобразование к метрике (2.8), становится очевидным,
что все это - только лишь проявление неполноты координатной системы (X,
У, Z, Т). В дальнейшем будет полезно помнить об этом обстоятельстве,
когда мы перейдем к обсуждению проблемы гравитационного коллапса в разд.
10,
3.
Метод абстрактных индексов
В ходе вычислений в общей теории относительности часто приходится
работать с тензорами довольно высокой валентности1). Даже такая
фундаментальная величина, как тензор кривизны, уже имеет валентность,
равную 4, и обладает известными довольно сложными свойствами симметрии.
Отсюда следует необходимость в индексных обозначениях, позволяющих
следить за различными используемыми величинами. Многие математики
стремятся избегать таких обозначений, вероятно, потому, что эти
обозначения подразумевают конкретную используемую систему координат. Но
когда величины "gab" или "Rabcd" используются физиком, я не думаю, чтобы
он часто подразумевал при этом набор компонент, зависящих от выбора
системы; скорее он имеет в виду не зависящий от системы координат
