Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
где результат отображения 0Х на Iх записан просто как 0Х|Х. Разрешим
записывать то же самое и в обратном порядке: 0Х?* = ?Х0Х. Потребуем,
чтобы
еа|°=е4Еь= ••• ... - (3.5)
Теперь каждое Va, Уь, ¦ ¦ • будет векторным пространством или модулем,
для которого >.0Х и 0Х + фх определяются через
(Л0,)Г = Че*Е*);
(е* + ФЛГ = е,Г + Ф,6'. 1 '
Идея состоит в том, чтобы задать нашу алгебру элементами из F, Va, Vb, .
. . , Va, Уь, ... . Чтобы сформулировать правила этой алгебры, следует
вспомнить правила использования обычных тензорных индексных обозначений.
Вспомним, например, что допустимы произведения вида |ат)ь, но не вида
|at]a. Далее, допустимые произведения должны быть коммутативны:
1\ь = 1\ь1а, (3-7)
хотя в общем случае ?ат]ь ф т)а|ь. Из требования (3.7) видно, что, хотя
по существу |ат)ь есть тензорное произведение элементов |а <8> т)ь,
величины |ат)ь и ?а <8> т)ь нельзя попросту отождествлять, поскольку
тензорные произведения, согласно строгому формальному опре-
3. МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ
37
делению, некоммутативны. Здесь же мы вправе определить коммутативный
вариант тензорного произведения, потому что 1аца в сущности не
определено. В произведении \ат\ъ значки а и Ь указывают принадлежность
множителей, но не их порядок следования. Один из способов точного
определения типа произведения, использованного здесь (и предложенного С.
Мак-Лейном), состоит в применении симметричной алгебры [54а] к прямой
сумме Va(r) Va(r)V6(r)Vb(r).. ., после чего для каждой пары раздельных (конечных)
систем элементов L (скажем, а, р, г и b, m) мы выбираем соответствующее
подпространство Vim, натянутое на элементы типа
iV?re6qV (3.8)
Общий элемент Vim представляет собой линейную комбинацию выражений вида
(3.8). Образованная таким путем конструкция гарантирует полную
коммутативность каждого произведения (3.8) и выполнение ряда
дистрибутивных законов [например,
*Г'(е. + ь)=ч>Ге. + Сгх" д(tm) С'^Г]- по-
рядок следования а, р, г или Ь, т в Vim не имеет значения, так что Vim -
Vim = VmbP и т. д. Однако для элемента р"^г порядок следования индексов
небезразличен.
Каждый элемент p"^r е V^r является линейной комбинацией коммутативных
произведений типа (3.8):
Д, 0) (0 (О (0 (0 (0
р= 2 Я rV4re6qv (3.9)
i=l
однако существует много способов выражения каж-дого р 1?г. Для
интересующих нас модулей удобным критерием равенства двух выражений типа
(3.9) является равенство соответствующих скаляров
** (0 (0 (0 (1) (0 . (О
= 2 я- (Гав)№иЧ)(0Ч) (qvO
(3.10)
38
3. МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ
Сложение: уХ .. * U .. \1 + К\
Умножение: уа .. Р : "XV*;;; ^->v;
Замена индексов: уХ .. U .. • z yf . w k .. .. h .. m*
Свертывание по а и Ь у ах . * bu . .. г yJC .. w * u ... z ...
w*
у* ... 2
и ... W*
а ... dx ., р ... ru .
ПрИ ЛЮбОМ Выборе СЪа ?= Va, |3р ?= Vp, Yr ^ Vr> ^ ^ тш е Vm. Отсюда
вытекают и все алгебраические свойства. (Отметим, что в общем случае
9ьт^^ьт^ =/=РЦг и т. д.)
Полная тензорная система {V} состоит из всех Vu'.'.'.w, включая и V = F:
{V} = (V, vfl,\ь vfl, \b \ab, ...,\хи:::*,...).
На {V} определены четыре основные операции, а именно:
(3.11) I. (3-12)
(3.13)
(3.14)
Фигурирующие в (3.11), (3.12) и (3.14) различные значки считаются
различными элементами из L. В (3.13) различными элементами L являются как
х, ..., г, и, ,.., w, так и В осталь-
ном на них не наложено никаких ограничений кроме того, что число
элементов х, . .., г и /, ..., h одинаково (то же самое касается и,
..., w и k, ..., т).
Сложение и умножение определяются очевидным образом. Замена индексов
осуществляется просто перестановкой элементов в L (а такая перестановка
не влияет на справедливость каких-либо уравнений). Чтобы определить
свертывание, рассмотрим, например, свертывание по р и b (v?"r -> V"r) в
применении к элементу p"^r е \рь"г, заданному в (3.9). В результате имеем
41 (О (0 (') (0(0(0
Р??' = Ц W0*)iflCr<pm- (3.15)
Отсюда p""eV"r, так что индексы х - "немые";
они не дают вклада в общую валентность.
Алгебраическим путем можно проверить, что из таких построений следуют все
обычные тензорные
3. МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ
39
правила1). Так, из сложения вытекает структура абелевой группы для
каждого Vl'.Wl,. Умножение коммутативно и дистрибутивно по сложению.
Свертывание должным образом коммутативно со сложеИием> умножением и с
другим свертыванием. Свертырание нулевого элемента дает снова нулевой
элемент. [При использовании равенства скаляров (3.10) в качестве
определения равенства формальных выражений (3-9) это свойство нулевого
элемента следует из того, чт0 любая матрица над F, квадрат которой равен
нулю, имеет и нулевой след. Это свойство выполняется в интересующих нас
здесь случаях, хотя и теряет силу для некоторых колец с конечной
характеристикой.] До сих пор еще не возник вопрос о системе базисных
векторов для V*. Все же часто оказывается удобным работать с базисом, и
нам понадобятся обозначения, позволяющие отличать базисные индексМ 07
