Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
математического многообразия. Обойтись без понятия открытого множества
можно было бы лишь ценой изменения теории. Вопрос об определении открытых
множеств с помощью более физического понятия причинности будет затронут в
разд. 11.
Выделим теперь некоторое множество Т вещественных функций на Ж, которые
окажутся не чем иным, как вещественными С°°-функциями в пространстве-
времени Ж. Дифференцируемую структуру Ж можно охарактеризовать следующими
аксиомами для Т:
ЕСЛИ fj, ..., f,eT, А ф - ЛЮБАЯ ВЕЩЕСТВЕННАЯ
С^-ФУНКЦИЯ п ПЕРЕМЕННЫХ (в ОБЫЧНОМ СМЫСЛЕ), ТО
f")e= т, (4.6)
Если ЭЛЕМЕНТ f ТАКОВ, ЧТО ДЛЯ КАЖДОГО Pei СУЩЕСТВУЕТ ЭЛЕМЕНТ /jp) е Т,
СОВПАДАЮЩИЙ С f В ОТКРЫТОМ МНОЖЕСТВЕ, СОДЕРЖАЩЕМ Р, ТО / S Т, (4-7)
Для КАЖДОГО Р е Л СУЩЕСТВУЕТ ОТКРЫТОЕ МНОЖЕСТВО СОДЕРЖАЩЕЕ Р, И ЧЕТЫРЕ
ЭЛЕМЕНТА Х°, Х!, X2,
X3 е= Т, ТАКИЕ, ЧТО КАРТА, ПЕРЕВОДЯЩАЯ Q S Ф В [x°(Q), X1 (Q),
X2(Q), X3(Q)], ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ
ГОМЕОМОРФИЗМ НА ОТКРЫТОЕ ПОДМНОЖЕСТВО из R4 и что ЛЮБОЙ ЭЛЕМЕНТ feT
СОВПАДАЕТ НА 9* С НЕКОТОРОЙ С°°-ФУНКЦИЕЙ ПЕРЕМЕННЫХ Х°, X1, X2, X3. (4.8)
Свойство (4.8) выражает то требование, которое предъявляется к функциям
х°, х\ х2, х3 на Ж, чтобы они могли играть роль локальных координат
вблизи р.
Контравариантное векторное С°°-поле | на Ж (т. е. сечение класса С°°
касательного пучка к Ж) можно определить как производное алгебры Т (над
константами), т. е. таким отображением | : Т-> Т, что
i(f + g) = i(f) + i(g),
I (fg) = fi (g) + gl (f),
(4.9)
(4.10)
§(fe) = 0, если k постоянно на Ж. (4.11)
Очевидно, что множество Т* на таких | является модулем над Т, причем (| +
rj) (f) = § (f) -f ц (/), (Л1) (f) = ^l(f) i >¦ e T, Ч e Г. Можно
показать, что
44 4. ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНА СО СПИНОРНОЙ СТРУКТУРОЙ
на языке локальных координат х°, х1, х2, х3 в открытом множестве 9 е Ж
любое поле § е Т* имеет вид
(4.12)
во всем 9Поэтому можно понимать как компоненты | в системе координат ха
на 9. (При переходе к другой локальной координатной окрестности
компоненты преобразуются обычным образом в области, где старая и новая
окрестности перекрываются.)
Теперь, положив V* = Т' и F = Т, мы могли бы ввести систему тензоров со
значками (как в разд. 3) и пришли бы тогда к бескоординатному варианту
обычного тензорного исчисления с "абстрактными индексами". Однако я
предложу здесь несколько иной путь, приводящий к довольно необычному
построению теории пространства-времени. Причина этого затрагивает,
вероятно, сущность основного отличия математики от физики. В математике
мы стремимся к максимально общим формулировкам, чтобы любой полученный
результат имел наиболее широкое применение. Иногда его применения выходят
далеко за рамки первоначальной задачи, а это позволяет объединять
широчайший круг идей. В физике наши цели несколько иные. Нам дана
чрезвычайно специфическая (?) структура, которую мы недостаточно хорошо
понимаем, а именно - вселенная. Определенные аспекты этой структуры
весьма точно (как это ни странно!) отображаются определенными
математическими моделями.
Однако из разных источников нам известно, что эти модели не совсем (?)
верны. Поэтому мы всегда заинтересованы в изменении математической
теории. В физике формализм, содержащий хотя бы один произвольный параметр
(такой, например, как размерность дифференцируемого многообразия), в
определенном смысле уже слишком общ. Нам нужен скорее не общий, а частный
формализм. При изложении старой теории на необычном (хотя с
математической точки зрения и эквивалентном) языке иногда могут
представиться новые, прежде не ожидавшиеся, но
4. ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНА СО СПИИОРНОЙ СТРУКТУРОЙ 45
с математической точки зрения естественные возможности видоизменения
теории. Примером может служить теория тяготения Ньютона. В обычной ее
формулировке можно было бы, например, рассматривать вопрос о замене
показателя степени (-2) при радиальной координате на какую-либо другую
степень. (Между прочим, такие попытки действительно предпринимались для
объяснения движения Меркурия, но безрезультатно!) Если, однако,
переформулировать теорию Ньютона как теорию пространства-времени (как это
обсуждалось в разд. 2), то окажется математически естественным совершенно
иное видоизменение теории, а именно переход к некоторой форме общей
теории относительности.
Я намереваюсь ввести такое формальное описание пространства-времени, при
котором и его спинорная структура ') будет более фундаментальной, чем
псев-дориманова. Конкретные размерность и сигнатура (-(-,-,-,-) должны
будут закладываться в теорию изначально. Таким образом, если бы возникло
изменение сегодняшней картины пространства-времени как дифференцируемого
многообразия, существенно зависящее от наличия такой спинорной структуры,
то размерность и сигнатура нашего пространства-времени были бы одним из
следствий теории.
Наше построение будет исходить из изоморфизма2) между группой SL (2, С)
унимодулярных комплексных 2 X 2-матриц и двукратным (универсальным)
покрытием связной компоненты группы Лоренца 0(1,3). Чтобы выразить этот
