Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
физический объект, который олицетворяют эти компоненты. К тому же метод
индексов позволяет очень удобно проводить ряд алгебраических операций,
приводящих к новым объектам, и эти операции действительно никак не
зависят от выбора системы. По сути эти алгебраические операции предельно
просты, но вместе с тем гибки, и с их помощью можно производить более
сложные операции. Было бы весьма досадно отказаться от такого мощного и
гибкого метода всего лишь из-за какого-то чувства неловкости, связанного
с условием суммирования и с зависимостью от конкретного выбора векторного
базиса. Здесь я изложу алгебру,
') Мы предпочитаем пользоваться здесь термином "валентность", а не
"ранг", так как это более образный термин, а слово "ранг" несет иную
смысловую нагрузку в приложении к матрицам.
2 Pi Пенроуз
34
3. МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ
совершенно не зависящую от выбора системы координат, но вместе с тем
позволяющую, точно так же как и прежняя, проводить (но уже с чистой
совестью!) вычисления с величинами, снабженным индексами. Эта новая
алгебра (со своим методом абстрактных индексов) предоставляет даже
большую свободу, чем старая, когда в ней вводят системы координат и
векторный базис (ср. с [96а]). Преимущества нового подхода становятся
особенно очевидны при рассмотрении спиноров, к которым мы перейдем в
следующем разделе.
Мы сэкономим время и усилия, воздгржавшись от чрезмерной формализации. Я
надеюсь, что основные идеи при этом будут ясны. Рассмотрим векторное
пространство V* над полем F; или, вообще говоря, допустим, что группа V'
- модуль1), г F - соответствующего вида кольцо (например, элементами V*
могут быть векторные поля2), элементами же F - С°°-функции на
многообразии). Идея состоит в том, чтобы построить величину, являющуюсг
по существу обычным тензорным произведением, кратным по V* и кратным по
дуальному3) ему V., г. е. величину, в которой мы, однако, с помощью
ищексов смогли бы без затруднений контролировать следствия свойств
симметрии и свертывания. Этсго можно достичь, просто копируя обычные
индексгые обозначения (вместе с условием о суммирована! и пр.), хотя
теперь индексы а, Ь, с, ... уже не слесует понимать как просто однородные
по своему происхождению символы, заменяющие, скажем, цифры >, 1, 2, ...,
N, а как абстрактные значки. Нам потребуется бесконечный запас
абстрактных индексов
а, b, с, Cq" Ь0, ..., С], b I, •••> (3*1)
') Отличие модуля от векторного пространств состоит в том, что скаляры
образуют не поле, а кольцо с тождеством. Кольцо отличается от поля тем,
что в нем не всегда возщясно деление на ненулевой элемент.
2) Здесь под "полем" следует понимать сечеше сответствую-щего векторного
пучка над многообразием Ж.
3) Дуальное по отношению к У'-прострамтву - это пространство всех
линейных отображений модуля V' на кольцо F.
3. МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ
35
чтобы можно было построить выражения произвольной протяженности.
Обозначим через L систему значков (3.1). Из любого элемента § из V* и
любого значка х е L мы теперь можем составить символ Iх. При пробегании
символом | элементов из V* соответствующий объект пробегает свое
множество V*. Здесь следует подчеркнуть, что \х- совершенно
самостоятельная величина, а вовсе не набор компонент | в какой-то системе
координат. Так как теперь мы хотим перенести обычные тензорные правила на
действия над снабженными индексами величинами, следует запретить писать
|a + rib и разрешить только суммы + г|а и + г|ь. (Нужно считать ?а и
разными объектами.) Для любого leF следует также разрешить писать Ца.
Таким образом, любое из Vй, V6, ..., V"", ... есть векторное пространство
или модуль, канонически изоморфные V*.
Может показаться противоестественным вводить бесконечное число изоморфных
пространств, хотя в действительности у нас лишь одно пространство. Однако
эту ситуацию можно рассматривать и с другой точки зрения. Каждый элемент
из L есть просто разновидность метки, выделяющей конкретный вектор (и т.
д.) вне зависимости от того, где он может оказаться в конструкции. Так
что Iх есть всего-навсего пара, составленная из § и из метки х. Иначе
говоря, это элемент из V'XL. Мы имеем тогда Va = V*X Х{а), Vb = V*X(b) и
т.д. Аксиомы векторного пространства или модуля, конечно, применимы к
любому Vх:
?*+(Tf+ n = r + Tf)-K',
ММ*) = № Iх. ( }
IIх = Iх,
0Г = Orf.
Здесь К, р, 1, 0 е F, причем 1 и 0 соответственно суть мультипликативная
и аддитивная единицы. Кроме
2*
36
3. МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ
того, Iх + цх = т)х + Iх [это следует из расшифровки (1-Ь 1) (i* + Л*)] и
Iх + (-Iх) - 0 [так как вместо (-1)|х можно записать -Iх, а вместо 0г|х-
записать 0].
У дуального пространства V. также имеется бесконечное число канонически
изоморфных копий: Va, Vs, Va" .... Пространство Vx можно понимать как
дуальное по отношению к пространству Vх для каждого х е L. Элементы V*
являются линейными отображениями Vх на F. Тогда для б* е V* имеем
+ = + (з.з)
M^) = M0xn> (3-4)
