Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Пенроуз Р. -> "Структура пространства-времени" -> 13

Структура пространства-времени - Пенроуз Р.

Пенроуз Р. Структура пространства-времени — М.: Мир, 1972. — 184 c.
Скачать (прямая ссылка): strukturaprostranstvavremeni1972.pdf
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 186 >> Следующая

абстрактных значков. Я предлагаю использовать для описания элементов
базиса готические инд^ксы а, Ь, . .., а0, . .., т. е. каждый индекс из а,
Ь, ... обозначает одно из целых чисел: 0, 1, . .., N [рассматривается (N
+ 1)-мерное пространство]. Использование готических индексов должно
напоминать нам о ДВУХ обстоятельствах: во-первых, что любое выражение,
содержащее эти индексы, предполагает выбор (возможно, произвольный)
базиса, из чего проистекает tfapy-шение ковариантности; во-вторых, что
при повторении в одном и том же члене индексов по ним всегда
подразумевается суммирование согласно правилу Эйнштейна. Пусть теперь 60,
бь будет фази-
сом для V* (мы предполагаем, что пространстве" конечномерно), а 6°, б1,
... , FeV, - соответствующим дуальным базисом. При хе L в качестве
канонических отображений в Vх и Vx имеем
б?, .... ЙеУ*, 6°........5?eV,. (3.16)
Если воспользоваться собирательными символами 6* е Vх и б! е V*, то
условие ортогональности блзис-
') См. любой курс классического тензорного анализа, н апри-мер [100].
40
3. МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ
ных векторов примет вид
= (3.17)
где 6^ - обычный дельта-символ Кронекера (в этих обозначениях не
предполагается никакой связи между л: и 5). С помощью равенства
б1б* = ЬХи (3.18)
можно также определить элемент 6у из \ху. Величина 6у обладает обычными
свойствами:
4::,::^=*::/". (3.19)
и отсюда видно, что она действительно не зависит от выбора базиса.
Компоненты любого элемента 2^ у1- г относительно базиса задаются как
*>и ... W и ••• W
И наоборот, чтобы выразить * через их компоненты, следует просто написать
г*-г= ... 6№6Х ... й*. (3.21)
... ш =и ... и и w S 3
Преимуществом таких обозначений является возможность в определенных
случаях переводить отдельные индексы на язык компонент, сохраняя другие в
виде абстрактных значков:
р:Г = рГ^УГ. (3.22)
Вообще все алгебраические соотношения никак не меняются при переходе к
отдельным готическим индексам. Однако, когда в следующем разделе мы
обратимся к ковариантному дифференцированию, обнаружится важное
формальное различие в том, как следует работать с этими двумя типами
индексов (плюс к уже имеющейся разнице в их смысле).
Алгебраическая структура типа построенной нами здесь обладает тем
элементарным, но важным свойством, что иногда можно вложить две такие
структуры одну в другую путем группирования индексов.
3. МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ
41
Тогда можно рассматривать новую систему значков, скажем L, элементами
которой служат (непересекаю-щиеся) подсистемы элементов из L. Например,
можно взять а = abc, (3 = def, у = ghi и т. д., причем L разбивается
целиком на непересекающиеся тройки и эти тройки уже суть элементы L.
Ясно, что при этом
наборы Va = Vabc, Vp = Vdef, ..., Va = Vabc vf =
= Vgbhfef, ... будут подчиняться прежним правилам. Можно группировать
векторные пространства (модули) и более сложным образом.
Кроме того, можно рассматривать системы, у которых "индексы" содержат
значки разных шрифтов. В нашей схеме это привело бы к изменению лишь
операций замены индексов (индексы могут заменяться лишь на однотипные с
ними) и свертывания (свертывание разрешается только для верхнего и
нижнего однотипных индексов). При анализе спиноров в следующем разделе мы
рассмотрим пример системы такого рода со значками двух разных типов
(связанных друг с другом операцией комплексного сопряжения) .
4.
Пространства-времена со спинорной структурой
Для более подробного анализа структуры пространства-времени нам
понадобится определение дифференцируемого многообразия. Я буду
использовать определение, данное Шевалье (ср. с [65]), в котором
дифференцируемая структура многообразия Ж задается полностью
вещественными функциями С°° на Ж. Я выбрал это определение не из-за
каких-то его особых внутренних математических достоинств, а потому, что,
по-моему, оно лучше всего отражает ту роль, которую системы координат
играют в физике. В самом деле, система координат в пространстве-времени
есть набор четырех вещественных функций в том же пространстве-времени,
таких, что в некоторой окрестности знание значений этих функций
"гладким", образом задает точку.
Начнем с того, что назовем пространство-время Ж топологическим
пространством. Из числа подмножеств Ж выделяются открытые множества;
открытым называется множество, удовлетворяющее требованиям:
Пересечение любых двух открытых множеств есть открытое МНОЖЕСТВО, (4.1)
Объединение любого множества открытых множеств есть открытое множество,
(4-2)
Выполняется условие Хаусдорфа (т. е. для любых двух точек из Ж существует
два непересекающихся открытых множества, каждое из которых содержит одну
из этих точек), (4.3)
Множество Ж связное (т. е. это не объединение двух непересекающихся
непустых открытых множеств), (4.4)
Имеется счетное количество открытых множеств, объединением которых
является любое открытое МНОЖЕСТВО НА М. '4.5)
4. ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНА СО СПИНОРНОЙ СТРУКТУРОЙ 43
Понятие открытого множества весьма нефизично, но существенно для введения
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 186 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed