Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
изоморфизм в наиболее явном виде, рассмотрим общие эрмитовы 2 X 2-
матрицы, которые я запишу здесь в виде
') Я говорю "спинорная структура", а не "спиновая структура", чтобы
подчеркнуть, что Ж не просто спиновое многообразие, но что его структура
должна определяться конкретным типом используемой здесь спинорной
системы.
г) Для анализа структуры пространства-времени может быть также
использован (2- 1)-изоморфизм между SU(2,2) и связной компонентой 0(2, 4)
(ср, с [79, 80]).
(
(4.13)
46 4. ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНА СО СПИНОРНОЙ СТРУКТУРОЙ
При умножении матрицы (4.13) слева на унимоду-лярную комплексную 2 X 2-
матрицу (i%), а справа - на комплексно-сопряженную ей сохранятся как эр-
митовость, так и величина детерминанта (4.13). Мы получаем таким образом
линейное преобразование (и0, и\ и2, и3), сохраняющее как вещественность
иа, так и форму
?es"'u* = (ц°)2 - {и})2 - (и2)2 - (и3)2, (4.14)
где
(geS) = diag(l,-1, -1, -1). (4.15)
Следовательно, для иа мы получили преобразование Лоренца
u*-+LW\ (4.16)
непрерывно переходящее в тождество (так как t% непрерывно переходит в
б1). И наоборот, из ряда соображений следует, что любое преобразование
типа (4.16) следует из двух и только двух унимоду-лярных матриц (t\), а
именно из (t\) и (?\). Поэтому преобразование (4.16) эквивалентно
преобразованию
ш я ж т'
и -> t %t щ'Ц . (4.17)
[В этих обозначениях 21 и 21' считаются разными буквами, так что, в
частности, по ним не подразумевается суммирования. Следовательно, (4.17)-
это четыре соотношения. При комплексном сопряжении нещтрихованные индексы
становятся штрихованными, а штрихованные - нештрихованными. Так,
например, величина у является комплексно-сопряженной по отношению к Л.
Прописные готические индексы принимают два значения: 0, 1 или О', Г.
Строчные готические индексы принимают значения 0, 1,2, 3.]
Обычно компоненты мирового вектора в псевдо-ортогональной системе
координат представляют в виде линейно упорядоченной последовательности
(и0, и1, и2, и3). Однако матричная запись (4.13) нисколько не хуже, и мы
намереваемся рассматривать ее как более фундаментальную. С этой точки
зрения
4. ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНА СО СПИНОРНОЙ СТРУКТУРОЙ 47
мировой вектор трактуется уже не как самая элементарная "векторная"
величина в пространстве-времени, поскольку это теперь "бивалентный"
объект и можно ожидать обнаружения неких "унивалентных"
(двухкомпонентных) объектов, имеющих какое-то пространственно-временное
значение. Так оно и есть на самом деле. Назовем эти "унивалентные"
объекты спин-векторами. Идея состоит тогда в том, чтобы взять в качестве
основного модуля (V* в разд. 2) не множество полей мировых векторов Т*, а
спин-векторные поля S* класса С°° *) на Ж. Тот факт, что я еще не дал
определения спин-вектора на языке пространства-времени, не играет роли.
Процедура будет скорее обратной, и алгебра, определяемая спин-векторами,
послужит для определения структуры пространства-времени. Найдя эту
структуру, мы сможем затем вернуться обратно и дать трактовку спин-
векторов на более привычном языке. В конце концов мы сможем даже дать на
редкость полное "физическое" истолкование спин-вектора (см. разд. 5).
Какой же внутренней структурой должен обладать наш модуль S* спин-
векторных полей? Мы требуем, чтобы около каждой точки Р е Ж слой S* (Р)
над Р был двумерным комплексным векторным пространством ("спиновым
пространством"). Симметрия этого пространства задается группой SL(2, С),
так что в этой симметрии отражается симметрия локальной группы Лоренца
пространства-времени. Если со0, со1 - компоненты aieS*(Р) в некотором
базисе, то (активное) преобразование симметрии для Sm (Р) дается в виде
я да /л ю\
со -> t аи (4.18)
(при этом базис остается фиксированным); здесь матрица (/\) - комплексная
и унимодулярная. При сравнении (4.18) с (4.17) и (4.16) через (4.1J3)
заметим, что если рассматривать пространство Т* (Я) мировых векторов как
тензорное произведение S*(P)
*) Окажется, что система S* есть сечение класса С°° пучка спин-векторов
над Л, рассматриваемое как модуль над комплексными С00-функциями на М.
48 4. ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНА СО СПИНОРНОЙ СТРУКТУРОЙ
и комплексно-сопряженного ему, то допустимые (активные) симметрии в Т'
(Р) оказываются именно преобразованиями Лоренца, не включающими
пространственных отражений и обращения времени. Каждый элемент модуля S*
будет непересекающимся объединением всех Р (= JH.- по одному элементу от
каждого S*(Р). При этом накладывается и некоторая дифференциальная
структура. Мы дадим краткое аксиоматическое определение. Назовем объект,
построенный из тензорных произведений S*, дуального ему S. и комплексно-
сопряженных им полей, спинор-ным полем на Ж. Как видно, частным случаем
здесь будет поле мирового вектора. При этом "тензорное произведение"
следует понимать в смысле, указанном в разд. 3. Принятая система значков
окажется весьма ценной при контроле за различными операциями.
Нам понадобятся спинорные значки двух типов
