Релятивистская теория поля элементарных частиц - Паули В.
Скачать (прямая ссылка):
X Г4-(">; -";+4-(- "i"ir+"r"iЛ,
k г-1,2 L J
2 к аУ +т(- "1
Л Г-1,2 1
* = Z [4-- К<0 + 4("-и- - и-и-
k г= 1,2 1
если ввести
Nr+ (k) - и7 (k) ur+{k),
N7(.k) = ul(k)uL(k),
то, согласно (137)
? = 2*0 S [А?(*) + ЛГг-(*)-1],
k r-1,2
6=2 k S [iVr+(*)+^r-(fe)-i],
r=l,2
"=*2 2 [лр(Л)-лгг-(А)].
A r=l,2
(139,
Частные случаи полей
55
Далее легко заметить, что, в силу правила Гейзенберга, соотношения (18) с
обычными скобками выполняются для всех величин, не содержащих времени
явно.
В связи с определением (139), нужно отметить, что при квантовании со
скобками со знаком плюс в (137) как для и*гип так и для иги*г получаются
собственные значения 0 и 1, так что оба выражения могут определять число
частиц. Выбор
(139) произведен таким образом, что энергия минимальна при обращении всех
N в нуль; это соответствует случаю вакуума. Мы получаем, следовательно,
нулевую энергию вакуума, равную половине кванта на собственное колебание
!).
(с) Разложение по функциям для противоположных зарядов,
1 2\
Случай незаряженной частицы со спином '
а
Произведем сначала разложение нашего спинорного поля, в точности
соответствующее разложению (44) скалярного поля U на его действительную и
мнимую части. Получим
u - y==(v-\-lw), u* = y^C(v - iw), (140)
где по аналогии с (126) v и w удовлетворяют лоренц-инва-риантным
соотношениям вещественности
v* = Cv, w* = Cw (141)
и тем же волновым уравнениям, что и и. Формулы, обратные
(140), имеют вид:
* = =4 ("4-С*а*),
V j (Н2)
w-у- у(й - с* и*).
]) Понятие плотности энергии в этой теории, повидимому, более
проблематично, чем понятие о проинтегрированной по объему полной энергии.
Плотность энергии в теории "дырок* уже не является положительно
определенной, в отличие от теорий, рассмотренных в §§ 1 и 2. Это показано
и в теории <г-чисел; если даже ограничиться волновыми пакетами,
составляющие волн которых имеют в фазе i [k-x -A^oJ частоту одного и того
же знака, плотность энергии не может быть сделана положительно
определенной.
2) Эта теория развита впервые Майорана [Е. М a j о г a n а, II Nuovo
Cimento 14, 171 (1937)], использовавшим упомянутое выше специальное
представление матриц Дирака с действительным а и С = /. Общий случай см.
Рака (сноска на стр. 46) и Крамере (сноска на стр. 50).
56
Часть вторая
Скобки с плюсом для v и w обращаются в нуль, а ["V (*> *о)" (•*'. <)]+
= [(r)Р (*• *о). W. (•*'" *<$ + =
= С^[вр(х,х0),В;(х\*ДО+- (143)
Правую часть можно заменить согласно (134). [В силу свойств (128, 129)
величины С правая часть действительно симметрична по отношению к замене
х9 х0 на х\ х^ и р на о.] В частности, для лг0 = л:'
[% (х, х0), V, (х\ <)]+ == [дар (х, х0), да, (х\ х'0}+ =
= C;5(x-x'). (144)
Согласно правилу Гейзенберга, u*Fp9a9 с эрмитовым F в теории с-чисел
заменяется на
Y W (CF - F*C) v4-1 да (CF - F*Q да + ^ г" (CF+F*C) да -
--¦уда(Р*С+СП". (145)
Применяя это выражение к вектору тока, т. е. полагая F равным I
(единичной матрице) и а соответственно, мы найдем, что благодаря (128)
члены с (v9 v) и (w9 w) обращаются в нуль. Таким образом
s0 = -I (vCw - wCv)9 s == ~ (vCaw - wc/lCv).
Для плотности энергии и импульса F равно соответственно
1 д 1 д " *
- и -fdx 9ТИХ слУчаях обращаются в нуль смешанные члены, откуда
. <•">
"-тт [("с?-| с") + ("Ps-Я С")] • <"">
Переход к состоянию с противоположным зарядом осуществляется заменой
v-> х/, w -> - w. (148)
Частные случаи полей
57
При этом преобразовании вектор тока меняет знак, в то время как энергия и
импульс остаются прежними. В теории с-чисел имело бы место как раз
обратное, так как там вектор тока содержал бы члены (v, v) и (w, w)f а
энергии и импульс - члены (t>, w).
Разложение по Собственным состояниям легко осуществить, если потребовать
выполнения (131) для я*г, Ь*г и разложить величины иТ (k) и ur (к)
согласно равенствам
ar = {vr-\-iw% а'_ = у- (vr-iwr) |
а*т - -4-(•a*r-iw*1); u*r=-L= (v*riw*1} ( + у 2 - у 2 )
(149)
[if, (r)**]+ = [vf, да**]+ = Ь" \
[vr, = [wr, =0. )
Тогда
v.W = (V)-,/'S S { vr(k) 4 (k) exp [/(k-x - ft0*o)]+
v k r-1,2
+ v*r (k) brf (k) exp (- 1 [k- x - fe0x0])},
->/. ^ (151)
wf(x) = (V) Щ ^ S 2 { aP (k) exP (k • x - Vo)3+
+ w*r (k) b' (k) exp (- / [k • x - VeD ) •
Энергия, импульс и заряд принимают вид:
? = 2 2 k(i{v*rvr-{-w*rwr- 1), (152)
k r=1,2
G = 2 S k(v*rvr-\-w*wr- 1), (153)
k r=l,2
g = s2J 2 ik°rw*r - wrT>*r). (154)
k r=1,2
"Упрощенную* форму Майорана, получаемую отождествлением состояний с
против^оложным зарядом, можно получить, зачеркнув w(x) и скобки,
содержащие w(x), и оставив, следовательно, лишь первую половину
соотношений (141), (144). Таким
образом,
*=i (•*?-?").
E = S Е ^ ^ (*> --у).
58
Часть вторая
Вектор тока и магнитный момент тождественно обращаются в нуль, т. е.
частица вообще не может быть источником электромагнитного поля. Эта
возможность существует, очевидно, лишь в теории q-чисел с квантованием
согласно принципу запрета. Пока еще неизвестно, описывается ли нейтрино,
