Релятивистская теория поля элементарных частиц - Паули В.
Скачать (прямая ссылка):
такое определение не соответствовало бы физическим фактам, так как тогда
не существовало бы связи между значением спина и числом независимых
плоских волн, возможных при отсутствии взаимодействия при данных
значениях компонент в фазовом множителе ехр/(кх).
Чтобы надлежащим образом определить спин1), рассмотрим сначала случай,
когда масса покоя всех частиц отлична от нуля. Произведем в этом случае
преобразование к системе, в которой частица покоится, т. е. все
пространственные компоненты kt равны нулю и волновая функция зависит
только от времени. Приведем в этой системе компоненты поля (которые,
согласно уравнениям поля, не обязательно должны обращаться в нуль) к
частям, неприводимым по отношению к пространственным вращениям. Каждой
такой части с r=2s-|-l компонентами принадлежит г различных собственных
функций, которые при пространственных вращениях преобразуются друг в
друга и относятся к частице со спином s. Если уравнения поля описывают
частицы, обладающие лишь одним значением спина, то в покоящейся системе
существует лишь одна неприводимая группа компонент. Из лоренц-
инвариантности следует, что для произвольной системы отсчета собственные
функции г или 2Г принадлежат заданным произвольным kr В общей системе
координат число величин U (у, k), входящих в теорию, определить труднее,
так как эти величины должны вместе с вектором kt удовлетворять нескольким
условиям.
В случае нулевой массы покоя имеет место особое вырождение, так как в
этом случае, как показал Фирц, допустимо градиентное преобразование
второго рода2). Но если поле описывает лишь один род частиц с нулевой
массой покоя и определенным значением спина, то при заданных значениях kt
имеются лишь два состояния, не преобразуемых друг в друга с помощью
градиентного преобразования. С физической точки зрения в этом случае
можно не давать определения спина, так
1)См.М. Fierz, Helv. Phys. Acta, 12, 3 (1939) и L. de Broglie, C.R.
Paris, 208, 1697 (1939); 20Э, 265 (1939).
2) Cm. crp. 16 этой книги.
Связь спина и статистики
75
как полный момент количества движения поля не может быть разделен с
помощью измерений на орбитальный и спиновый моменты. Однако для
определения спина можно использовать следующее свойство. Если в теории ^-
чисел рассмотреть состояния, в которых имеется лишь одна частица, то
оказываются возможными не все собственные значения у (у -}- 1) квадрата
момента. А именно, j начинается с определенного минимального значения 5,
принимая значения 5, 5-f-l, . . . !). Это имеет место только при х = 0.
Для фотонов 5=1; для отдельного фотона значение / = 0 невозможно2). Для
гравитационных квантов 5 = 2 и j не может принимать значений у = 0 и j-
1.
В произвольной системе координат и при произвольных массах покоя величины
U, которые все преобразуются согласно двузначным (однозначным)
представлениям с полуцелым (целым) /-}-&, описывают лишь частицы с
полуцелым (целым) спином. Специальное исследование необходимо лишь в том
случае, если нужно решить, описывает ли теория частицы с единственным или
с несколькими значениями спина.
Доказательство пеопределоппого характера заряда при целом спине и анергии
- при полуцелом спине
Рассмотрим сначала теорию, в которой используются лишь U с целыми J-\-k,
т. е. которая описывает только частицы с целым спином. При этом не
предполагается, что описываются частицы лишь с одним единственным спином,
однако все частицы должны иметь целый спин. Разделим величины U на два
класса:
1) "класс -j-1* с целыми j и /г, 2) "класс -1" с полуцелыми / и k.
Такое обозначение классов оправдывается тем, что по указанным правилам
сведения произведения к неприводимым составляющим при лоренцовой группе
произведение двух величин класса 1 или класса - 1 содержит лишь величины
класса -1, а произведение величин разных классов содержит лишь величины
класса - 1. Существенно, что комплексно-сопряженная величина U* с
переставленными j и k принадлежит к тому же классу, что и U. Как легко
увидеть из правила умножения, тензоры с четным (нечетным) числом индексов
приводятся только
!) Общее доказательство этого дал М. Ф и р ц, Helv. Phys. Acta, 13, 45
(1940).
2) См., например, В. Паули, Основные принципы волноцой механики, ГТТИ
(1947).
76
Дополнение
к величинам класса -f-1 (-1). Волновой вектор kt мы относим к классу - 1,
так как при умножении на другие величины он ведет себя как величина
класса -1.
Рассмотрим теперь однородное линейное уравнение для величин U (не
обязательно первого порядка). Для плоской волны мы можем заменить - i
d/dxi на kv В силу инвариантности по отношению к собственной лоренцовой
группе, уравнение должно иметь форму
(Д-1)
Такая форма означает, что может иметься столько же различных членов
одинакового типа, сколько имеется величин U+ и {/-. Кроме того, под U+ мы
понимаем здесь как i/+, так и (?/+)*, а для некоторых U может выполняться
соотношение U-U*. Наконец, мы опустили четное число множителей k. Они
