Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
0<гс|<|-со2<?і2<со2 (30.6.4)
и X2IXi и X3IXi лежат в интервале от 0 до 1. Таким образом, условия теоремы § 30.2 выполнены, и в окрестности равновесного решения существует семейство периодических движений (относительно вращающихся осей) с периодами, близкими к 2я/со.
Эти периодические движения нам уже известны, они были предметом нашего рассмотрения в § 29.4. Речь идет о решениях типа треугольника Лагранжа, форма которого остается неизменной. Частицы при этом движутся в пространстве с периодом 2л/со по эллипсам, близким к окружностям; движение их относительно вращающихся осей в окрестности равновесного положения приближенно является эллиптическим. В этом случае периоды точно (а не приближенно) равны 2я/со.
Если выполнено условие устойчивости к <С V4, то в окрестности равновесного решения существует еще одно семейство периодических двия^ений с периодами, близкими к 2п/п3. При этом ни одна из величин со/ге3, п21п3 не является целым числом, так как
К-5-<2, 0<-2§-<1. (30.6.5)
"з ™3
Следовательно, условия теоремы § 30.2 выполняются. Существование этих периодических решений является новым результатом: он не следует из рассуждений § 29.4.
Наконец, если к < V4, то вблизи равновесного решения имеется третье семейство периодических движений, периоды которых близки к 2п1п2, при этом ни (а/п2, ни Ti3In2 не должно быть целым числом. Отношение CaIn2 равно целому числу V > 1, если
1 V2. (30.6.6)
2 V 4
Отсюда
к = ^^~ • (30-6-7>
V4
Отношение п3/п2 является целым ЧИСЛОМ V > 1, если
1 4 : = V2. (30.6.8)
4 к
2 У 4 Отсюда
к= (^)2. (30.6.9)
Таким образом, третье семейство периодических движений существует в окрестности равновесного решения тогда, когда к не является рациональным числом вида (30.6.7) или (30.6.9).
§ 30.7]
СИСТЕМЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТР
613
§ 30.7. Системы, содержащие параметр. Рассмотрим системы, для которых функции X7 в уравнениях движения содержат параметр ц. Уравнения записываем в форме
хт = X1. (хи X2, . . ., xm; Li) = Хг (х; jx). (30.7.1)
Функции Хг предполагаются регулярными в некоторой области изменения (комплексных) переменных Xi, х2, . . ., хт, [х. Пуанкаре поставил следующий вопрос: «Предположим, что для некоторого значения параметра ц.а периодическое решение существует. Можно ли тогда утверждать, что периодические решения существуют для значений ц., достаточно близких к и-о?» Без потери общности можно считать значение [X0 равным нулю, тогда задача Пуанкаре принимает следующую формулировку: «Предположим, что при р, = 0 существует периодическое решение. Существуют ли тогда периодические решения при достаточно малых значениях jx?»
Рассмотрим в качестве иллюстрации ограниченную задачу трех тел (гл. XXVIII). Предположим, что при фиксированных значениях параметров а -f- ? и I мы в состоянии изменять величину отношения ?/a так, чтобы угловая скорость со при этом имела постоянное значение у (а + ?)/Z3 (см. (28.2.1)). Положим Li = ?/(a + ?). Значение ц. = 0 соответствует ? = 0, так что при [X = 0 задача о движении планетоида становится эквивалентной задаче о движении частицы в поле ньютоновского притяжения к неподвижному центру. В этом случае периодическое движение, разумеется, существует (во вращающейся системе координат). Существуют, например, эллиптические орбиты (относительно фиксированных осей) с периодом обращения 2я/со, и, что особенно важно для наших целей, существуют равномерные круговые движения около центра А (который при ц. = 0 совпадает с G). Спрашивается, существуют ли периодические движения для достаточно малых положительных значений р?
Общее решение уравнений движения возьмем в виде (см. (21.1.4))
Xr = Vr(X1I, х°2,...,х°т; р.; г) = срг(ж°; ц.; t), (30.7.2)
где х° есть вектор X при t = 0. Будем пользоваться обозначениями § 21.5, в частности, производную д(рТ1дх% обозначим через cprs. Начнем с известного-периодического решения (для fx = 0); оно не является равновесным решением: если р =0, то решение, начинающееся из точки А, х° =а, является периодическим с периодом о. Тогда для любого значения t будем иметь
Х(щ 0)^0, (30.7.3)
q>r(a; 0; 0) = ar, г = 1, 2, ..., т, (30.7.4)
(Pr (а; 0; ? + о) = фг (а; 0; t), г = 1, 2, ..., т. (30.7.5)
Последнее из этих соотношений можно упростить. В самом деле, сказать, что равенство (30.7.5) выполняется для всех значений t,— это тоже самое, что сказать, что оно выполняется для одного какого-нибудь значения t. Это является следствием единственности решения. Поэтому уравнение (30.7.5) можно заменить более простым:
фг (а; 0, а) = аг, г = 1, 2, . . ., т, (30.7.6)
Пуанкаре первый поставил вопрос: «Существуют ли периодические решения с тем же периодом о, если в уравнениях движения Li имеет не нулевое значение, а малое значение, отличное от нуля?» Такие орбиты существуют, если при заданном [х =^=0 можно найти такие ?l5 ?2, . . ., ?m, что будут выполняться т следующих уравнений:
Фг (?; Li; о) = ?r, г = 1, 2, . . ., т. (30.7.7)
614
