Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
[(г - s) Xi - Xk] а*, = р, (30.2.21)
где р — полином относительно уже найденных коэффициентов. Коэффициент при <x?s в левой части последнего уравнения никогда не обращается в нуль. Действительно, если ft = 1, то г — s^l, а если ft = 2, то г — s Ф — 1. Если же ft > 2, то выражение [(г — s) A1 — Xh] не может равняться нулю, так как ни одно из отношений XJXi не является целым числом. Наконец, коэффициенты ит находятся путем приравнивания коэффициентов при |г+1т]г в уравнении (30.2.18), что позволяет выразить ит через уже известные коэффициенты. Аналогичным путем из уравнения (30.2.19) можно определить коэффициенты Vr- Таким образом, мы построили степенные ряды для тп + 2 переменных yh, и, v; вопрос о сходимости этих рядов будет предметом дальнейшего рассмотрения.
§ 30.3. Условия вещественности. Уравнения (30.2.1) можно записать в следующей форме:
3c=/(sb), (30.3.1)
где f(x) есть вектор {X1, X2, ..., Хт}, причем/(ж) вещественно, если вещест-
ВвННЫ 3C^ * * *> ^tH'
Преобразование X = Cy приводит уравнение (30.3.1)
к виду
у = C-V(Cy), (30.3.2)
и уравнение (30.2.17) принимает форму
^^ + VA^ = C-V(Cy). (30.3.3)
Обозначим через yh, и, v ряды, которые получаются из разложений для ук, и, V при замене коэффициентов комплексно-сопряженными. Из (30.3.3) тогда получаем
"5-?-+ ^-?- = ^"1Z(Cy)1
ибо f(x) вещественно, когда вещественно X.
Определим матрицу T с помощью формулы
C = CT, T = C1C. (30.3.5)
Правую часть уравнения (30.3.4) тогда можно записать в виде
T-1C-V(CTy). (30.3.6)
39 Л. А. Паро
(30.3.4)
606
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ
[Гл. XXX
Отсюда видно, что уравнение (30.3.3) останется в силе, если заменить у на Ту, и на и и у на v.
Рассмотрим преобразование w = Ту. Ему эквивалентно преобразование Cw = Су, которое показывает, что
wh = ркУі (30.3.7) (мы здесь воспользовались обозначениями § 25.10). В частности, имеем
w1 = pjz/2, = р2Уі (30.3.8) и рф2 = 1. Две первые составляющие Ту равны
PiV 2 = PiTl + • • • (30.3.9)
и
P2^l = Р2 I + • • • (30.3.10)
Остальные составляющие имеют разложения, начинающиеся с квадратичных ЧлеНОВ ПО переменным |, t).
Уравнение (30.3.3) будет удовлетворяться, если
«/(|,ti), «(S, л). v(l,i\) (30.3.11)
заменить соответственно на
Ту(ріЦ,р21), v(pti\,p2Q, U(P1Ti1P2I). (30.3.12)
Отсюда в силу единственности решения, удовлетворяющего заданным условиям, получаем
Су (і, ті) = Cy (P1Ti, р2|), и (|, t1) = V (P1t1, р2|). (30.3.13)
Далее имеем
X (I, Ti) = C2Z(I, T1). (30.3.14)
Равенства (30.3.13) показывают, что х будет вещественным, если
I = P1T1, ті=р2|. (30.3.15)
Отметим важный частный случай, когда все собственные значения Xi, X2, ... . . ., Xn, —Xi, —X2, . . ., —Xn чисто мнимые, а собственные векторы, образующие столбцы матрицы С, нормированы, так что все множители рг равны единице, и (re + г)-й столбец матрицы С (для г = 1, 2, . . ., п) имеет элементы, сопряженные соответствующим элементам г-го столбца. При этих условиях Xy есть вектор (уп+і, уп+г, • • ¦, у2пг Уи У г, • ¦ ; Уп), a T есть матрица
(гЛ)-
§ 30.4. Уравнения Гамильтона. Особый интерес представляет случай, когда уравнения (30.2.1) имеют гамильтонову форму и существует пара чисто мнимых собственных значений, одинаковых по величине и противоположных по знаку. Начнем с того, что совершим линейное преобразование (см. § 25.10) и приведем члены низшего (второго) порядка в функции Гамильтона к виду
H2 = X1Q1Pi + X2q2p2 + - • . + KqnPn- (30.4.1)
Собственными значениями будут X1, X2, . . ., Xn, —Ai, —A2, . . .,—An, а фундаментальной парой собственных. значений теперь будут A4, An+i (где A1 = — An+1 = Jp0) вместо A1, A2, составлявших фундаментальную пару в предыдущих параграфах. Когда члены H2 в функции H имеют форму (30.4.1), уравнения движения принимают вид (30.2.10).
§ 30.4]
УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
607
Обозначим через К результат замены в формуле для H величин q и р их выражениями через |, ц:
H (q; р) = К (|, t1). (30.4.2)
Из уравнения энергии получаем
Напомним, что и и v суть функции от со = |т|. Легко видеть, что К также будет функцией со. Если эту функцию представить в форме степенного ряда по | и и, то единственным членом второго порядка будет a1It1. Ho если К имеет вид
aiIt1 + 2 *г,?гтЛ (30.4.4)
где г + s > 2, то из уравнения (30.4.3) получаем
(А-І + S «rlY) + S rfc„l Y) +
+ (- К+ S ^rIY) S sftrslY) = 0. (30.4.5)
Определяя коэффициенты шаг за шагом, обнаруживаем, что кга = 0, если гфв. Таким образом, К есть функция от со, скажем ср(со), и уравнение (30.4.3) принимает вид
(u+y)co-g_ = 0. (30.4.6)
Следовательно,
и + V = 0, (30.4.7)
что очевидно также из (30.4.5). Далее имеем
^¦ = -^m = (u + vni\ = 0, (30.4.8)
и, стало быть, со сохраняет в процессе движения постоянное значение; и и V = — и, являющиеся функциями со, также постоянны. Следовательно,
I = !„є* ті = ще«. (30.4.9)
Если |0, t)0 выбрать так, чтобы |0 = р)М0, то, как и в § 30.3, и = = и (I, t1) = м (!„, t]0) и у = у (I, t1) = у (!„, t]0) будут комплексно-сопряженными, и так как и + у == 0, то будем иметь
