Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Далее имеем
|ur| = |4+i,,Md?,r+i|. (30.5.5)
Обозначим ряд
SI!SV
через Zk. Если этот ряд сходится, то сходится и ряд для yk. Аналогичным образом, обозначим ряд
S I иг і IV
через U, а ряд
SlAIIV
через Gh. Ряды Zh, U, Gk получаются из zh, и — A1, gk заменой коэффициентов в степенных рядах их абсолютными значениями. Наконец, пусть Y.h обозначает ряд, полученный из ряда для уп заменой коэффициентов их абсолютными величинами. Умножая (30.5.4), (30.5.5) на |rr|s и суммируя
(г~s) X1-Xk
(30.5.3)
610
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ
[Гл. XXX
по к, г, s, получаем
(I + -л) U + Z < C1 (G + UZ), (30.5.6)
где
G = G1 + G2 + . . . + Gm, Z = Z1 + Z2+ . . . + Zn. (30.5.7)
Условие (30.5.6) является основным для дальнейших рассуждений. Символ -< обозначает, что ряд в правой части является мажорирующим для ряда, стоящего слева. Символ мажоранты относится только к коэффициентам в формальном разложении в степенной ряд; применение этого символа не требует, чтобы ряды сходились.
Построим теперь мажоранту для ряда G. Функции Xr (x1, х2, . . ., хт) предполагаются регулярными в окрестности точки ж =0, и, следовательно, т функций gh (уи у2, . . ., ут) также регулярны в окрестности точки у = 0. То же самое относится к функциям G% (уі, у2, . . ., ут), получающимся из функций gh (уі, z/2, . . ., ут) заменой коэффициентов в их разложениях по степеням г/л, у2, . . ., ут соответствующими абсолютными значениями. Ряды для функций G% начинаются с квадратичных членов; отсюда следует, что существует положительная постоянная а такая, что
т оо
2 G*k (yi' Y2,..., Ym)<^ (aWf = -^y-, (30.5.8)
fc=l п=2
где
W ^Y1+ Y2+ . . . + Ym = I + ц +Z. (30.5.9)
Отметим, что выражение в правой части равенства (30.5.8) пока рассматривается нами только, как сокращенное обозначение геометрического ряда, без какого-либо предположения о его сходимости. (Если ряд Z оказывается сходящимся в окрестности точки (I, Tj) = (0, 0), то геометрический ряд также сходится в некоторой, быть может меньшей, окрестности этой точки.) Символ ¦< в соотношении (30.5.8) относится (исключительно) к кратному степенному ряду по Y1, Y2, . . ., Ym, но, так как все коэффициенты этого ряда положительны, мы можем понимать этот символ в обычном смысле, когда обе части представлены в виде рядов по степеням |, п. Кроме того, из определения d^s следует, что ряды Gh и G% по степеням I, T1 связаны условием
G^Gt(Y1, Y2, ...,Yn). (30.5.10)
Из (30.5.6)-(30.5.10) получаем
(l+4)u+z<Cl ( ^tIX+z) +uz)- (30-5-11)
Остается установить сходимость рядов U и Z в окрестности точки (I1 Tj) = (0, 0). Вследствие неотрицательности всех коэффициентов достаточно доказать сходимость рядов лишь для частного случая | = T1. Если положить I = Tfj, то левая часть (30.5.11) примет вид 2|С7 + Z; обозначим
2\U + Z = IP. (30.5.12)
Функция P задается степенным рядом без постоянного члена. При | = ц будем иметь
21 + Z < 21 (1 + P) (30.5.13)
и
UZ < IgP* < 4|Р2. (30.5.14)
§ 30.6]
ТРИ ТОЧКИ ЛАГРАНЖА
611
Из (30.5.11) находим
Р<АсЛіаЛаиі7р)+Р2)' (Ж5-15>
Положив
1 + P+IP = Q, (30.5.16)
получаем мажорирующие соотношения
1 + IP<Q, IP<Q\ l{i + P)*<l + Q\ (30.5.17)
Далее имеем
Q = I+P+IP < I + P + Q' < I + Q2 + ("Vit? + "<
<i+Q'+MJi^L+^)<
< с M-^2 < , 2^+?2 ^ а 2S + Q2 (3Q 5 їй)
< с2 A_C3Q < с2 4_Сз<? < а 4_а^ . (3U.0.1O)
где а — наибольшее из двух положительных чисел с2 и с3. Для нангих целей достаточно доказать сходимость ряда Q для малых положительных значениях |.
Рассмотрим уравнение
в котором A есть степенной ряд по Положим
oo oo
?=2 «,Г, A=S?rSr. (30.5.20)
г= 1 г= 1
Коэффициенты ?,. легко определяются шаг за шагом путем сравнения коэффициентов при одинаковых степенях I в соотношении 2R = а? + aR2. В самом деле,
Pi = у a, V2 = J as, V3 = ± а*,... (30.5.21)
Кроме того, шаг за шагом можно доказать, что ar ?r, так что ряд R мажорирует ряд Q и сходимость первого из этих рядов влечет за собой сходимость второго. Если же сходится ряд Q, то сходится ряд Р, а отсюда в свою очередь следует сходимость рядов Z ж U. Равенство (30.5.19) можно переписать в виде
(1 — aR)2 = 1 - а% (30.5.22)
откуда
2аД < (l-ai?)-2-l= ^ (30.5.23)
п, следовательно, ряд R сходится, если | ? | < 1/сс2. Теорема, таким образом, доказана.
§ 30.6. Три точки Лагранжа. Применим теорему § 30.2 к исследованию равновесного решения, в котором три частицы располагаются в вершинах равностороннего треугольника и находятся в покое. Уравнения движения возьмем в преобразованной форме § 29.8. Собственные значения линеаризованной задачи о возмущенном движении найдем из уравнения
(X2 + о)2) (Xі + W2X2 + /ссо*) = 0, (30.6.1)
в котором
к = —- та2^3+To3To1+To1To2 .„„ g
4 (/B1 + To2+ m3)2 " \ ¦ ¦ I
612
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ
[Гл. X X X
Собственными значениями будут
Xi = ico, X2, X3, —Xi, —Я,2, —X3. (30.6.3)
Ни одно из отношений A2A1, X3IXi при этом не является целым числом. Действительно, в случае неустойчивого равновесия (к > V4) числа X2 и X3 не являются чисто мнимыми, а в случае устойчивого равновесия (к < 1Z4), когда X2 и X3 — чисто мнимые, равные in2 и in3, имеем
