Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
U + ¦J-(TnQl + »Ql +ПСИ <*2
(29.15.5)
имеет стационарное значение.
Уравнения (29.15.4) в развернутом виде записываются следующим образом:
TnQi^-y { ««1(«1q1 -q2) + ^-а2 (c2q1 + q2)+-^- Qi\=0, (29.15.6)
I '1 '2 '3 J
vQ^-y {(b1q1-q2) + AL(o8q1 + q2))= 0, (29.15.7)
l1q3co2=^3q3 (^ + ?-)- (29-15-8)
Из последнего уравнения слеДует, что либо
И>2 = 7-з(^ + ^), (29Л5-9)
либо
Q3 = 0. (29.15.10)
Предположим, что имеет место условие (29.15.9). Тогда, подставляя это выражение для (u-oi2 в левую часть уравнения (29.15.7), находим
qi
Так как Q1 = г3Ф 0, то отсюда следует, что T1 = г2. Положим
rt = г2 = I.
(29.15.11) (29.15.12)
§ 29.15]
РАВНОВЕСНЫЕ РЕШЕНИЯ
601
Тогда из уравнения (29.15.9) получаем
Ш2 = ^_. (29.15.13)
(29.15.14)
Подставляя это выражение для со2 в левую часть (29.15.6), находим
M т3 т1 + т2
Таким образом,
г3 = I, (29.15.15)
т. е. мы получили равносторонний треугольник Лагранжа.
Предположим теперь, что имеет место условие (29.15.10). Тогда все три частицы располагаются вдоль одной прямой. Считая, как и ранее, что частица A2 расположена между Ai и Аз, можем написать
Qi = гз, Q2 = П + а,г3, Qs = 0, r2 = T1 + г3. (29.15.16)
В обозначениях (29.3.12) будем иметь
Ч г3
к к+1 1
(29.15.17)
Уравнение (29.15.8) удовлетворяется, поскольку Q3 = Q, и из уравнений (29.15.6), (29.15.7) получаем
^=V (-^.+^.+лар±) (29.i5.i8)
V 'j I2 'з I
и
{T1+O1T^ = Jf (Щ- + !^). (29.15.19)
Разделив второе из этих уравнений на первое и принимая во внимание (29.15.17), получаем
к + а,-ЛИ_Tn2Jk+J)Z + TrHk*_ (29 15 20*
+ CCl~ р, {m1 + m2)k*(k+\f-m3(k+\)i + m№ ' (ыю.м)
Это соотношение эквивалентно уравнению пятой степени (29.3.14). Таким образом, мы снова получили уже известный результат, согласно которому равновесные решения исчерпываются равносторонним треугольником Лагранжа и случаем, когда частицы располагаются на одной прямой.
Глава XXX ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ
§ 30.1. Периодические орбиты. Как правило, уравнения движения динамической системы при произвольных начальных условиях не удается проинтегрировать до конца. Так обстоит дело, в частности, и для задачи трех тел. Мы видели (§ 17.10), что даже классификация возможных типов траекторий в общем случае встречает большие трудности. Однако иногда мы в состоянии найти периодические орбиты или по крайней мере доказать их существование. Пуанкаре в своей классической работе о задаче трех тел придавал особое значение отысканию периодических решений и считал это отправным пунктом для решения общей задачи о классификации и интегрировании *). Траектории могут быть периодическими как в абсолютном смысле (по отношению к неподвижным осям), так и в относительном смысле (по отношению к осям, движущимся определенным образом). Например, в ограниченной задаче трех тел мы говорим о периодических траекториях частиц относительно вращающихся осей.
§ 30.2. Периодическое движение в окрестности особой точки. В гл. XIX
было рассмотрено движение автономной динамической системы с одной степенью свободы вблизи положения равновесия (особой точки). Сначала рассматривалось линейное приближение, т. е. приближение, которое получается из уравнений движения
xr = Xr, г = 1, 2, (30.2.1)
в которых в правых частях сохранены одни только линейные члены, начало координат выбрано в особой точке и функции Хг не содержат постоянных слагаемых. В линейном приближении уравнения движения записываются в форме
х = Ах, (30.2.2)
где А — матрица размером 2x2, элементами которой являются вещественные постоянные.
Основной вопрос состоит в следующем: что можно сказать об устойчивости движения, определяемого уравнениями (30.2.1), если движение устойчиво в линейном приближении (30.2.2)?
Особый интерес представляет случай точки типа центра; в этом случае матрица А имеет чисто мнимые собственные значения. Система с одной степенью свободы устойчива по первому приближению, но это свойство, как мы видели, не всегда сохраняется при переходе к точным уравнениям.
В общем случае системы с п степенями свободы уравнения движения записываются в форме
xr = Xr, г = 1, 2, . . ., т, (30.2.3)
*) «Ce qui nous rend ces solutions periodiques si precieuses, c'est qu'elles sont, pour ainsi dire, la seule breche par ou nous puissions essayer de penetrer dans une place jusqu'ici reputee inabordable». (Эти периодические решения столь для нас привлекательны потому, что они представляют, так сказать, единственную брешь, через которую можно пытаться проникнуть в место, до сих пор считавшееся недоступным.)
і 30.2]
ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ
603
где тп = 2п. Если начало координат выбрано в положении равновесия, то все функции Хт при Z1 = Z2 = ... = хт = 0 обращаются в нули. Уравнения линейного приближения имеют вид (см. § 21.11)
х = Ах, (30.2.4)
где теперь А обозначает матрицу размером тпхтп. Если все собственные значения этой матрицы являются простыми и чисто мнимыми числами, то начало координат в линейном приближении представляет положение устойчивого равновесия. Однако частный случай тп = 2 показывает, что при переходе от приближенных уравнений к точным мы этого можем не получить.
