Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
3) точки окружности г = а при отображении передвигаются против хода часовой стрелки, а точки окружности г = Ъ — по ходу часовой стрелки, что означает, что а|з (а, 0) > 9, а ф {Ь, 0) < 0.
Теорема утверждает, что при выполнении этих условий отображение имеет две неподвижные точки.
На первый взгляд возникает трудность в связи с тем, что функция ф (г, 0) определена сначала лишь по mod 2л. Однако фактически это обстоятельство не является существенным, так как если функция г|э (г, 0) задана в одной точке кольца, то в силу непрерывности ее значения становятся известными везде.
Теорема остается верной и тогда, когда условие о сохранении меры заменяется более слабым требованием о существовании инвариантного интеграла с положительной подынтегральной функцией. Условие о сохранении меры можно заменить еще более слабым условием, что никакая подобласть кольцевой области не преобразуется в часть себя самой.
Интуитивные соображения, которые навели Пуанкаре на мысль о связи теоремы о кольце с вопросом о существовании периодических орбит, не очень убедительны и во многих отношениях спорны, но, несмотря на это, в следующем параграфе мы приведем аргументацию Пуанкаре ввиду ее особой важности для понимания вопроса и значительного исторического интереса.
§ 30.11. Периодические орбиты и теорема о кольце*). Рассмотрим динамическую систему с двумя степенями свободы. Положение системы будем описывать с помощью лагранжевых координат х, у. Движению системы отвечает перемещение изображающей точки (х, у) в плоскости z = 0. Предположим, что система допускает интеграл вида
где W — заданная функция от (х, у).
При этих условиях движение системы происходит в области ?, определяемой неравенством W < h. Будем рассматривать такие значения h, для которых область ? располагается внутри простой замкнутой выпуклой кривой а.
*) При изложении этого параграфа автор основывался на статье Пуанкаре, вышедшей в 1912 г., незадолго до его смерти: Sur un theoreme de geometrie, Rend. Circ. mat. Palermo, 33, 1912, стр. 375—407. Эта работа весьма примечательна. Пуанкаре был убежден в справедливости теоремы о кольце, он доказал ее для ряда частных случаев, но общего доказательства не получил, предоставив это сделать другим математикам.
г' = ф (г, 0), 0' = ф (г, 0).
(30.10.1)
±.(x*+y*)+W = h,
(30.11.1)
§ 30.11]
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ И ТЕОРЕМА О КОЛЬЦЕ
621
Основной интерес для нас представляет ограниченная задача трех тел, когда рассматривается движение планетоида относительно вращающихся осей (§ 28.2). Для этой задачи существует интеграл требуемого типа, а именно интеграл (28.2.6), и W = —yU. Если —h > yU3, то область W < h состоит частью из одной или двух внутренних областей, ограниченных снаружи замкнутыми выпуклыми кривыми, а частью из внешней области, ограниченной изнутри замкнутой выпуклой кривой (рис. 116а, Ь). В каждом из этих случаев внутреннюю область можно взять в качестве области ?.
Скорость частицы в точках области ? по величине определяется формулой (30.11.1), что же касается направления скорости, то оно произвольно. Обозначим через г|з угол, образуемый вектором скорости с осью Ох, и будем считать, что 0 ^г|з < 2я. Тем самым каждой точке области ? мы поставим в соответствие бесконечное множество элементов, понимая под этим термином совокупность величины вектора скорости и наклона этого вектора к оси Ох. В каждой точке граничной кривой а скорость равна нулю, так что точке этой кривой фактически соответствует один-единственный элемент. Это замечание мы используем ниже при геометрической интерпретации.
Прежде всего совершим топологическое отображение области ? на область ?', представляющую собой внутренность круга, границей которого является окружность а' — образ кривой а. Рассмотрим движение изображающей точки в преобразованной области ?' (см. § 21.2). Пусть M — точка области ?'; обозначим через M' ее образ, полученный в результате инверсии относительно окружности а'. В плоскости, перпендикулярной к плоскости ?', построим окружность Г на отрезке MM' как на диаметре. Всякому направлению траектории, проходящей через точку M (т. е. всякому элементу в точке M), поставим в соответствие определенную точку окружности Г. При этом, например, значение г|/ = 0 будет соответствовать точке M', значение г|/ = я — точке М, а значения 0 <г|/ < я отвечают точкам окружности Г, для которых z > 0. (Уравнением плоскости ?' будет z = 0; через я|/ обозначен угол наклона траектории в преобразованном движении к оси Ох.) Если точка M ? ?', то ей соответствует бесконечно много точек; если же M ? а', то одна точка. Каждому элементу соответствует одна точка пространства, и, обратно, каждой точке пространства соответствует один-единственный элемент.
Траекториям здесь поставлены в соответствие кривые С, образующие семейство к пространственных кривых; через каждую точку пространства проходит одна и только одна такая кривая С. Заметим, что при изменении направления движения на обратное картина траекторий изменяется. Замкнутым кривым С соответствуют периодические орбиты.
