Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Парс Л.А. -> "Аналитическая динамика" -> 276

Аналитическая динамика - Парс Л.А.

Парс Л.А. Аналитическая динамика. Под редакцией Рубашева А.Н. — М.:Наука, 1971. — 636 c.
Скачать (прямая ссылка): analitdinamik1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 270 271 272 273 274 275 < 276 > 277 278 279 280 281 282 .. 290 >> Следующая


и = щ, V = — ф. (30.4.10)

Уравнения

I = |0е^, T1 = i\0e-W (30.4.11)

при достаточно малых ] | | определяют семейство периодических решений уравнений Гамильтона. Выражение |0еі|і( можно записать в форме peW•"'•>>, где р — вещественное и положительное число; тогда, изменив начало отсчета времени, будем иметь

I = peW, ц = рр2е-^'. (30.4.12)

(Матрицу С можно взять в такой форме, чтобы р2 = 1.) Период равен 2я/ц., и так как

и = іц. = i[x0 + I0t]0 (u1+...), (30.4.13)

то при р=>- 0 период 2л/р стремится к значению 2я/ц.0. При этом периодическое движение стремится к равновесному решению. Координаты хт могут

39*

608

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ

[Гл. XXX

быть выражены рядами Фурье вида

1 „

у ао + 2л (0"4 cos v№ "Ь sin V[It) .

Для случая п = 1 мы уже указывали ряд примеров семейств периодических траекторий в окрестности особой точки типа центра: пример 19.10A(I) (рис. 86), пример 19.10G (рис. 87), пример 19.НА (рис. 89). В примере 19.10A(I) период каждого из периодических движений точно (а не приближенно) равен 2я/[х0. В примере 19.ЮС период приближенно равен

2я ^ 1+-^a2J и при а —*- 0 стремится к 2я.

Доказанная теорема относится к системам, которые либо имеют форму Гамильтона, либо могут быть приведены к ней. В других случаях семейства периодических орбит может и не существовать (см. пример 19.10А(2), пример 19.10А(3) или пример 19.10В).

Пример 30.4. Простой иллюстрацией для п — 2 может служить случай, когда функция Гамильтона имеет вид (21.16.11):

H = j п (д\ + р\) - п (gl + pi) + Y a (д\дг -qzp\- 2glPlp2), (30.4.14)

где и>0 и а>0. Уравнениями движения являются

ql = npi — a(q2pl + qip2), pt = — nq1 — a(qlqz — p1p2), Л

і \ (30.4.15)

q2 = — 2пр2 — Oq1P1, р2 = 2nq2 — у a (q\ — р\). J

Начало координат представляет собой особую точку типа центра и, как было показано, является положением неустойчивого равновесия. Собственные значения равны

X1 = 2in, X2 — in, —%i, —X2, (30.4.16)

и необходимые условия, как видим, выполняются: отношение X2IX1 = 1I2 не является целым числом. В окрестности начала координат существует семейство периодических орбит с периодами, равными приближенно п/п.

Легко непосредственно убедиться в существовании такого семейства. В самом деле, уравнения движения (30.4.15) удовлетворяются, если gt и pt тождественно равны нулю, а д2 и р2 удовлетворяют уравнениям

q2 = — 2пр2, р2 = 2тщ2. (30.4.17)

Таким образом, имеем семейство периодических траекторий, для которых

O1 = O, Pi = O, "I

q2 = (X2CoS 2nt — b2 sin 2nt, p2 = b2 cos 2nt-\- az sin 2nt. I

В этом простом случае период каждого из движений точно (а не приближенно) равен п/п, кроме того, траектории существуют для сколь угодно больших значений q2 и р2, а не только вблизи начала О.

Если же вместо Xi взять X2 в качестве фундаментального собственного значения, то положение полностью изменится. Изложенная теория в этом случае неприменима, поскольку XJX2 = 2; поэтому нет оснований ожидать наличия периодических решений с периодами, близкими к 2п/п. Действительно, легко видеть, что таких решений не существует: не может быть периодического решения, если в начальный момент (а стало быть, и в течение ВСЄГО Времени) НЄ ВЫПОЛНЯЮТСЯ УСЛОВИЯ </д = pi = 0.

§ 30.5]

СХОДИМОСТЬ

609

Полагая 0 = q\ + РІ, ф = q\ + р\, находим

0 = а2 (40Ф + О2). (30.4.19)

В справедливости этого равенства легко убедиться непосредственно из дифференциальных уравнений для q1, P1, g2, р2. Отсюда следует, что 9>0 в течение всего движения, так как если бы в какой-нибудь момент оказалось, что 0 = 0, то оно оставалось бы нулем все время. Итак, 0 > 0, и движение не может быть периодическим.

§ 30.5. Сходимость. В этом параграфе мы докажем сходимость рядов функций yh (ft = 1, 2, . . ., тп), и, v по степеням |, ц для достаточно малых значений 111, I T] |. Рассуждения будем вести для случая гамильтоновой системы, когда и + v = 0. Воспользуемся обозначениями § 30.2 (X1 = — A2); пусть d% — коэффициент при ?гг|8 в разложении функции gh, полученном путем замены г/1; у2, . . ., уп соответствующими рядами по степеням |, тр Сравнение коэффициентов при |rr|s в формулах (30.2.18) — (30.2.20) приводит к следующим соотношениям:

[(г — s) X1-Xh] a,rS + (r — s) 2 uva,r-v, s-v = ^™, к = 1, 2, ..., m. (30.5.1)

Суммирование по v здесь производится от v = 1 до V — min (г, s). Случаи ft = 1, г — s = l и ft = 2, s — г = 1 являются аномальными. В первом из них первый член в левой части (30.5.1) заменяется на us, а во втором случае он заменяется на vT = — и/, сравнивая в (30.2.18) коэффициенты при 1Г+1г|Г, а в (30.2.19) коэффициенты при |rr|r+1, получаем

и,. = с^ц.^ r =—drtr-\-\. (30.5.2)

За исключением этих двух случаев, коэффициент при а% в (30.5.1) никогда не обращается в нуль, и существует положительная постоянная с±, не зависящая от к, г, s и такая, что

(г—s) bi—Khl Из (30.5.1) тогда получаем

I «re 1¦^c1 j C?rs I + Cl S |"vfflr-v, s-v I- (30.5.4)
Предыдущая << 1 .. 270 271 272 273 274 275 < 276 > 277 278 279 280 281 282 .. 290 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed