Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Функция т + X есть монотонная функция от и. Докажем это. Обозначим левую часть равенства (30.11.10) через / (и, v, w). Если найдется такое значение и, при котором / = /' = 0, т. е. при котором
R sin (т + X + ті) = 0, 1
V I; 'j (30.11.13);
R' sin (т + X + Tj) + R (т' + A') cos (т + А + T]) = 0
то на кривой C1 будет иметься точка, которой она касается поверхности А.
Если для некоторого значения щ переменной и функция т' + А' обращается в нуль, то, взяв для г) значение в этой точке, равное —(т + А), мы удовлетворили бы обоим уравнениям (30.11.13). . Но это невозможно, поскольку поверхность А есть поверхность без контакта. Отсюда следует, что функция %' + А' никогда в нуль не обращается, т. е. сохраняет свой знак; без ограничения общности его можно принять положительным.
Введем вместо и новую переменную
которая монотонно возрастает вместе сии увеличивается на 2я при одном полном обходе кривой C0. Положение точки на кривой C0 можно фиксировать, вместо и, параметром р. Если точка P1 находится вблизи кривой C0, a P2 есть последующая точка для P1, то будем иметь
^-^1 = ^. (30.11.15)
где р4 есть значение р в точке P1, а р2 — значение р в точке P2.
Рассмотрим теперь топологическое отображение области А на внутренность круга и, применяя полярные координаты, отобразим кривую C0 на окружность г = Ъ, вдоль которой 0 = р. Преобразование T переводит окружность г = Ъ в себя, и при этом каждая точка окружности перемещается на угол 2я/(а + т). Такое преобразование имеет нечетное число неподвижных точек, каждой из которых соответствует периодическая орбита.
40*
624
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ
[Гл. XXX
Из этих орбит по крайней мере одна устойчива по первому -приближению; пусть это будет орбита, соответствующая неподвижной точке P0. Совершим еще одно топологическое отображение круга на себя такое, чтобы точка P0 перешла в центр круга, а точки окружности подверглись бы такому же преобразованию, что и прежде. В результате получим преобразование Т, которое оставляет центр круга неизменным, а границу его отображает на себя, причем все точки границы передвигаются против хода часовой стрелки на один и тот же угол.
Рассмотрим теперь действие этого преобразования на точки, лежащие в непосредственной близости от центра круга.
Пусть C0 есть периодическая орбита, проходящая через точку P0. Возьмем систему координат и', v', w'. Эти координаты отличаются от введенных ранее для кривой C0, поскольку теперь поверхность S, содержащая область А, имеет уравнение и' = 0. При таком выборе координат уже невозможно определить положение точки на траектории заданием одних лишь значений и' и v', а изменение направления элемента — изменением одной только переменной w'. Но это сейчас не имеет большого значения. Кривая С, проходящая вблизи от C0, описывается уравнениями
-J == р'SiH (T' +T)'), ~ = р; Sin (T' + T1') +р2 COS(T' + T]'). (30.11.16) Здесь а мало, а т' равно
т' = ?u' + ф {и'), (30.11.17)
где TJj (и') — периодическая функция и', а характеристические показатели устойчивой периодической орбиты C0 равны 0, 0, i?, —i?. Если и' изменяет свое значение на 2я, то т' изменяет свое значение на 2n?. Можно выбрать полярные координаты таким образом, чтобы для точек, близких к P0 (т. е. для малых значений г), имели место приближенные равенства
-^ = P'sine, -^ = Pi sinO +p2cos0, (30.11.18)
где р', Pj, р'2 берутся для и' = 0.
Если точка P расположена вблизи от центра P0, то при переходе от P к последующей для нее точке P' переменная и' возрастает на 2я, а Є — на 2n?, или, поскольку Є определено только по mod 2я, ее приращение может •составлять 2я (? + и), где п — целое число. При этом, если значение п известно для какой-нибудь одной точки, то в силу непрерывности оно известно и для всех точек.
Рассмотрим теперь преобразование Тр, где р — целое положительное число. Это преобразование переводит внутреннюю часть круга в себя, а его границу — в границу преобразованного круга. Преобразование Тр обладает положительным интегральным инвариантом. Если T {г, Q) == (г', 0'), то, как мы знаем, на окружности г = Ъ мы будем иметь
0' —0 = 2я—?—, (30.11.19)
a+m ' v '
а вблизи от точки г = 0
0' - 0 = 2яр (? + п). (30.11.20)
Преобразование останется прежним, если 0' заменить на 0", где 0" = = 0' — 2qn, a q — целое число; при этом на окружности г = b будем иметь
§ 30.12]
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПУАНКАРЕ О КОЛЬЦЕ
625
а вблизи от точки г = О
0" - 9 = 2я {р (? + п) - q). (30.11.22)
Выберем число п так, чтобы выполнялось условие (а + тп) (? + п) ФІ. Тогда можно указать бесконечно много пар значений р, q таких, что либо
—J—>~>? + n, (30.11.23)
либо
<-^-<? + n. (30.11.24)
a-\-m р
Таким образом, условия теоремы Пуанкаре (для случая, когда внутренний радиус кольца стремится к нулю) оказываются выполненными. Поэтому, если теорема верна и если существует одна устойчивая периодическая орбита G0, то существует бесконечно много таких периодических орбит.
