Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
-2р(1-С)
-pS -р (р+2ш) S -V (P-(O) (1-С)
0
3 (Р+ш) (р+2ш) CT--2 (р+Зш) S (р+Зш) (1-С)
(P+2«) (Р+Зсо) (1-С) Зр (р+ш) (р+2ю) CT-- (р-ш) (р+Зш) S -рй (р+ш) (р+2ш)
-3 (р+ш) CT+4S
-2 (1-С) -2 (р+2ш) (1-С) -Зр (р+ш) ст+ +2 (р-ш) S рй (р+ш)
2 (1-С) S
(р+2ш) S (Р-ш) (1-С)
PA (Р+Ш)
0 0
p2ft (р+ш)
где, в отличие от предыдущего, С = cos (р + со) о = cos 2л
5 = sin (р + со) о = sin 2я ¦
(30.8.16) (30.8.17)
Теперь нетрудно проверить результаты общей теории. Матрица JP получается из матрицы L путем отбрасывания пятой строки и пятого столбца. Как и следовало ожидать, третья строка матрицы J1 не независима от остальных строк, а четвертый столбец не независим от остальных столбцов. Определитель матрицы H размером 3x3, получающейся при отбрасывании третьей строки и четвертого столбца матрицы Jf, равен
— 24л sin2
Таким образом, если
РФ-
(о v
(30.8.18) (30.8.19)
где V — целое положительное число, то при достаточно малых р, существуют периодические решения с периодом а. Значение р = —со было нами исключено, так же как и значения р = 0 и р = —2 со.
Далее, матрица G, получающаяся из L путем отбрасывания пятой строки и четвертого столбца, очевидно, является особой, как это и следует из общей теории. Если в матрице L отбросить третью строку и четвертый столбец, то получится матрица К; ее определитель имеет значение
|UC| = — 4/)3/?2 sin2
соя
(30.8.20)
§ 30.10]
ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ O КОЛЬЦЕ
619
Как и ранее, параметр р не должен принимать значений, указанных в формуле (30.8.19), тогда при достаточно малом ц, будут существовать периодические движения с периодом % фа.
В обоих рассмотренных случаях речь идет о решениях, периодических относительно вращающихся осей.
§ 30.9. Метод неподвижной точки. В § 30.8 мы доказали, что при определенных условиях для достаточно малых значений параметра р, существуют периодические орбиты. Из этого доказательства не следует, вообще говоря, что такие орбиты существуют для больших значений [х. Пуанкаре исследовал этот вопрос с помощью теории преобразований, имеющих неподвижную точку.
Нетрудно видеть, что теория таких преобразований имеет непосредственное отношение к вопросу о существовании периодических решений. Рассмотрим обычные уравнения
хт = Хг (х), г = 1, 2,
тп, (30.9.1)
Рыс. 123.
правые части которых суть функции класса C1 в области D пространства (xi, х2, ¦ ¦ •, хт). Возьмем плоскость со, определяемую уравнением хт = cim; эта плоскость параллельна плоскости хт = 0. Обозначим через А множество точек со,
для которых Хт > 0, а через ? —множество точек А, обладающих тем свойством, что траектории с началом в этих точках целиком расположены в области D. Обозначим, далее, через P точку множества ? и рассмотрим движение изображающей точки по траектории с началом в Р.
Движение этой точки происходит в области хт > 0 (поскольку в точке P Хт > 0). В дальнейшем, возможно, точка перейдет из области хт > О в область хт < 0 (при этом ее траектория пересечет плоскость со в точке, не принадлежащей А), а затем вновь попадет в область хт > 0, причем на этот раз пересечет плоскость со в точке P' множества А (см. рис. 123, иллюстрирующий случай т = 2). Преобразование точки P в точку P' (обозначим его P' — TP) является топологическим отображением области ? в область ?' множества А.
Если отображение P' = TP имеет неподвижную точку P0, для которой
TP0 = P0, (30.9.2)
то орбита, проходящая через P0, является периодической. Или, в более общем виде, если существует точка P0 такая, что для некоторого целого положительного числа п
ТпР0 = P0, (30.9.3)
то проходящая через P0 орбита является периодической.
Если div X = 0 (что для уравнений Гамильтона всегда выполняется), то интеграл
J Xm dxt dx2
.. . dxr.
(3Q.9.4)
взятый по области ?, при преобразовании T остается инвариантным. Доказательство этого утверждения было дано ранее (см. § 22.17, формула (22.17.1)).
§ 30.10. Теорема Пуанкаре о кольце. Существует одна теорема о неподвижной точке, которая особенно тесно связана с именем Пуанкаре. Эту
620
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ
[Гл. XXX
теорему иногда называют последней теоремой Пуанкаре или теоремой Пуанкаре о кольце. Изучая задачу трех тел, Пуанкаре пришел к мысли о существовании бесконечного множества периодических орбит (во вращающейся системе осей) не только для малых, но и для каких угодно значений li = = ?/(a + ?). Пуанкаре не дал строгого доказательства этой теоремы, хотя у него не было сомнений в ее справедливости; доказательство было дано Дж. Д. Биркгофом уже после смерти Пуанкаре. Эта теорема состоит в следующем.
Рассмотрим кольцевую область, ограниченную окружностями г = а и г = Ь, где 0 < а < Ъ. Определим топологическое отображение замкнутой области a ^ г ^ Ъ на себя с помощью уравнений
Это отображение обладает следующими свойствами:
1) оно сохраняет меру;
2) каждая из граничных окружностей при отображении переходит в себя, т. е. ф (а, Э) = а и ф (Ь, 0) = Ъ;
