Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Тем не менее можно указать такое свойство устойчивого положения равновесия, которое сохраняется при переходе к точным уравнениям. Для системы Гамильтона, имеющей пару сопряженных чисто мнимых собственных значений ±Фо, эт0 свойство заключается в том, что в окрестности положения равновесия существует семейство периодических движений. Элементы этого семейства зависят от вещественного параметра р; они существуют для достаточно малых значений р и при р -> 0 стремятся к равновесному решению (при котором изображающая точка находится в покое в начале координат). Период а (р) при р—>-0 стремится к значению 2я/р0.
Рассмотрим вместо системы Гамильтона систему общего вида (30.2.3). Правые части ХТ при х = 0 обращаются в нуль. Предположим, что каждая из функций Хг при достаточно малых | х | может быть представлена степенным рядом по переменным (Z1, Z2, . . ., хт) с вещественными коэффициентами и без постоянного члена. Линейное приближение имеет вид (30.2.4). Будем предполагать, что матрица А обладает следующими свойствами. Все собственные значения A1, A2, . . ., А,т этой матрицы различны; два из них, например A1 и A2, являются равными по величине и противоположными по знаку мнимыми числами: Ai = — A2 = ф0; наконец, ни одно из отношений А3/Аі, Ад/А-ь . . ., A7nZA1 не является целым числом.
Рассмотрим уравнение линейного приближения (30.2.4). Совершая неособое линейное преобразование
х = Су, (30.2.5)
получаем
V = C1ACy. (30.2.6)
Матрицу С выберем так, чтобы матрица C1AC была диагональной матрицей X:
(30.2.7)
Уравнения движения принимают теперь вид
Vk = Ky-к, (30.2.8)
и движение, при котором
Уі--ае^, z/3 = ?e-^ уз = уі = _м=ут = 0і (30.2.9)
является периодическим с периодом 2я/ц.0. Комплексные коэффициенты ос, ? при этом выбираются так, чтобы величины z были вещественны.
604
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ
[Гл. XXX
Если теперь применить это же самое линейное преобразование к точным уравнениям (30.2.3), то получим уравнения
Ун = Ъ-нУн + gh, к = 1,2, . . ., т, (30.2.10)
в которых gh обозначают степенные ряды по переменным (z/i, у2, ¦ . ., ут), начинающиеся с членов второй степени. Чтобы доказать существование периодических решений, подобных решениям (30.2.9), воспользуемся приемом, аналогичным известному способу вариации произвольных постоянных. Предположим, что существует решение, при котором каждая из функций yk представляется как функция двух переменных |, Tj с помощью следующих формул:
ZZ1 = 1 + Z1 = I+ SaUV. (30.2.11)
y2 = n+z2 = y]+yjaUW, (30.2.12)
2/ft = zft = 2<4rY, й>2, (30.2.13)
причем ряды для Z1, z2, . . ., zm начинаются с членов второй степени. Относительно этих рядов предположим следующее. Будем считать, что a\s = 0, если г = s + 1, так что ряд для Z1 не содержит членов вида | (|т])8 и, следовательно, ряд для dzjд\ не содержит членов вида (En)8. Аналогично, будем предполагать, что а% = 0, если s= г+1, так что ряд для Z2 не содержит членов вида (?r|)rr|, а ряд для dz2ldr\ не содержит членов вида (|м)г. Причины, заставляющие нас вводить эти ограничения, выяснятся позже.
Будем предполагать, далее, что вспомогательные переменные | и н являются функциями от времени, удовлетворяющими дифференциальным уравнениям
І = ul, т) = ут], (30.2.14)
где и есть функция от произведения переменных ?г|, разложение которой в ряд по степеням |г| начинается с постоянного члена A1:
и = A1 + щЪ\ + U2IW + • • ., (30.2.15)
а V — функция от |т|, разложение которой начинается с постоянного члена A2:
V = K2+ V1In + V2IW + . . . (30.2.16)
Предполагая, что эти ряды сходятся для достаточно малых значений | и и, представляем уравнения (30.2.10) в следующей форме:
ul^+vr]^± = Xhyh + gh, к = і,2,...,т. (30.2.17)
Если подставить сюда соответствующие разложения для yk, и, v и сравнить коэффициенты при подобных членах ?гт)8' то можно будет определить все коэффициенты
Уравнение (30.2.17) для к = 1 имеет вид
ul + ul-^+vn-^- — A1 {1 + Z1) = gu или, в развернутой форме,
І (ЩІЦ+ U2IW+ ¦ ¦ •) + (S rab&if) (A1 + U1In+- ¦¦¦) +
+ (2^Y)(^ + ^+ •¦0-^i 2 ^.Гл' = ^- (30.2.18)
Аналогичным образом, второе уравнение дает
ті (V1In + V2IW +¦••)+(S raUW) (K + ЩІп +.--) +
+ (S saUW) (?* + V1U +•¦.)-^2 e?«5rif = ft. (30.2.19)
fj 30.3]
УСЛОВИЯ ВЕЩЕСТВЕННОСТИ
605
Остальные уравнения приводят к формулам (S л&5гП") (h + •••) +
+ (S *х«&гт|в) (** + Уі5ч+ • • •) - ** S «^V = gk. (30.2.20)
Вместо функций gft в правые части этих уравнений нужно подставить соответствующие ряды по степеням Уі, !/г» ¦ ¦ -, Ут-
Левая часть уравнения (30.2.18) не содержит членов вида |s+1tjs нигде, кроме как в выражении |и, а левая часть (30.2.19) не содержит членов вида I1-Tf+1 нигде, кроме как в выражении тру. Неизвестные коэффициенты находятся теперь шаг за шагом путем приравнивания коэффициентов. Если найдены все коэффициенты a^s (ft = 1, 2, . . ., т) для г + s <С N и коэффициенты иТ, vr для 2r <С N — 1," то коэффициенты а*, для г + s = N можно найти, сравнивая коэффициенты при 1гт|г. Оставляя в стороне случаи г — s = l при к = 1 и г — s = — 1 при ft = 2, получаем
