Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим, что имеется периодическая траектория G0, устойчивая по первому приближению (§ 23.1). Выберем единицу времени такой, чтобы период был равен 2я. Обозначим через C0 замкнутую кривую семейства и, соответствующую траектории G0, и построим поверхность S, натянутую на кривую C0; участок этой поверхности, ограниченный кривой C0, обозначим через А. Предположим, что область А односвязная и является областью без контакта, т. е. ни одна кривая С не касается поверхности S в точках А (сравните с понятием отрезка без контакта в § 20.3).
Возьмем точку P в области А. Через эту точку проходит только одна кривая С. Будем двигаться вдоль этой кривой до нового пересечения с поверхностью А в точке P'; эту точку назовем последующей точкой по отношению к Р. Преобразование T, переводящее точку P в точку P', представляет топологическое отображение области А на себя.
Может показаться, что для некоторого положения Q точки P преобразование T будет разрывным. Однако это невозможно. В самом деле, возьмем последовательность точек Р, P', Р", P'", . . в которых траектория С
40 Л. А. Парс
622
ПЕРИОДИЧГСКИЕ ОРБИТЫ
[Гл. XXX
пересекает область А, и предположим, что при перемещении точки P из положения Q точки P' и Р" сначала совпадают, а затем становятся мнимыми, так что последующей точкой для P оказывается точка P'". Но это невозмоя?-но, потому что поверхность А является областью без контакта. По той же причине между точками P и P' не могут появиться две новые точки пересечения, т. е. последующей точкой для P не может стать точка P1 вместо точки P'. Кроме того, при перемещении точки P из положения Q точка P' не может пересечь траекторию C0, так как через точку этой кривой, кроме нее самой, никакой другой траектории не проходит.
Преобразование T обладает положительным интегральным инвариантом; доказательство этого утверждения аналогично доказательству § 22.17. Если точка P совпадает с P' или с любой из других последующих точек Р", P'", . . ., то кривая С оказывается замкнутой, а изображаемая ею траектория — периодической.
Рассмотрим преобразование T для точек Р, близких к границе C0 области А. Пусть C1 — кривая класса К, проходящая через точку Р, т. е. кривая, соответствующая траектории G1, которая проходит в непосредственной близости от G0. Чтобы составить приближенные уравнения кривой C1, обратимся к методам § 23.4. Выберем такую систему координат и, v, w, чтобы 1) положение точки на траектории зависело только от и, v, а направление элемента траектории — также и от w, 2) уравнение траектории C0 имело вид V = w = 0, а переменная и при полном обходе замкнутой кривой C0 изменялась от 0 до 2я. При движении вдоль кривой C0 имеем
t = u+y(u), (30.11.2)
где ф (и) — периодическая функция с периодом 2я.
Если характеристические показатели устойчивой периодической орбиты G0 равны 0, 0, га, —ісс, то уравнения кривой C1 можно записать в виде (см. § 23.5)
-J- = р sin (т+л), -7-^Pi sin (т+т|) +р2 cos (т+т|), (30.11.3)
где а и и — постоянные интегрирования, причем а мало, а через т обозначено at, так что
т = аи + аф (и), (30.11.4)
откуда видно, что т все время возрастает вместе с и.
Точки пересечения кривых G1 и G0 получим, положив V = 0. Тогда будем иметь
т + т] = Nn, (30.11.5)
где N — целое число. Если M1 — одна из таких точек, a M2 — следующая за ней точка пересечения, то точку M2 называют кинетическим фокусом точки M1. Значения X1 и т2 переменной т в точках M1 и M2 кривой C1 связаны между собой соотношением
Т2 _ Tl = л. (30.11.6)
Поверхность S, на которой расположена область А, определится уравнением
F (и, V, w) = 0. (30.11.7)
Разложение функции F по степеням v и w не содержит постоянного члена, поскольку кривая C0 (v = w = 0) расположена на поверхности (30.11.7). Поэтому линеаризованное уравнение этой поверхности имеет вид
+ g2u> = 0, (30.11.8)
§ 30.11]
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ И ТЕОРЕМА" ОКОЛЬЦЕ
623
где gt и gi — периодические функции от и. Чтобы найти точки пересечения кривой C1 с поверхностью А, подставим выражения (30.11.3) для v и w в уравнение (30.11.8). Проделав это, получим
Pt sin (т + T1) + pi cos (т + T1) = 0, (30.11.9)
где P1 и рч — периодические функции от и. Уравнение (30.11.9) можно представить в эквивалентной форме
R sin (т + A + T1) = 0, (30.11.10)
где A = arctg pilpi. Следовательно, А является функцией от и, производная которой есть периодическая функция. Поэтому А можно представить в виде ти + ф (и), где т — целое число, а ф (и) — периодическая функция. Точки пересечения кривой C1 с поверхностью А определяются уравнением (30.11.10), и, следовательно, величина т + X + T1 кратна я. Но поскольку область А ограничена кривой C0 и за пределы этой кривой не распространяется, сумма т + X + T1 кратна четному числу я:
т 4- X + T1 = 2/от, (30.11.11).
где к — целое число. Если P1 и P2 — две последовательные точки пересечения, то имеем
(т2 + X2) - (T1 + X1) = 2я, (30.11.12)
где т2, Xz относятся к точке P2, a T1, A1 —• к точке P1.