Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Парс Л.А. -> "Аналитическая динамика" -> 283

Аналитическая динамика - Парс Л.А.

Парс Л.А. Аналитическая динамика. Под редакцией Рубашева А.Н. — М.:Наука, 1971. — 636 c.
Скачать (прямая ссылка): analitdinamik1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 277 278 279 280 281 282 < 283 > 284 285 286 287 288 289 .. 290 >> Следующая


Предположим, что имеется периодическая траектория G0, устойчивая по первому приближению (§ 23.1). Выберем единицу времени такой, чтобы период был равен 2я. Обозначим через C0 замкнутую кривую семейства и, соответствующую траектории G0, и построим поверхность S, натянутую на кривую C0; участок этой поверхности, ограниченный кривой C0, обозначим через А. Предположим, что область А односвязная и является областью без контакта, т. е. ни одна кривая С не касается поверхности S в точках А (сравните с понятием отрезка без контакта в § 20.3).

Возьмем точку P в области А. Через эту точку проходит только одна кривая С. Будем двигаться вдоль этой кривой до нового пересечения с поверхностью А в точке P'; эту точку назовем последующей точкой по отношению к Р. Преобразование T, переводящее точку P в точку P', представляет топологическое отображение области А на себя.

Может показаться, что для некоторого положения Q точки P преобразование T будет разрывным. Однако это невозможно. В самом деле, возьмем последовательность точек Р, P', Р", P'", . . в которых траектория С

40 Л. А. Парс

622

ПЕРИОДИЧГСКИЕ ОРБИТЫ

[Гл. XXX

пересекает область А, и предположим, что при перемещении точки P из положения Q точки P' и Р" сначала совпадают, а затем становятся мнимыми, так что последующей точкой для P оказывается точка P'". Но это невозмоя?-но, потому что поверхность А является областью без контакта. По той же причине между точками P и P' не могут появиться две новые точки пересечения, т. е. последующей точкой для P не может стать точка P1 вместо точки P'. Кроме того, при перемещении точки P из положения Q точка P' не может пересечь траекторию C0, так как через точку этой кривой, кроме нее самой, никакой другой траектории не проходит.

Преобразование T обладает положительным интегральным инвариантом; доказательство этого утверждения аналогично доказательству § 22.17. Если точка P совпадает с P' или с любой из других последующих точек Р", P'", . . ., то кривая С оказывается замкнутой, а изображаемая ею траектория — периодической.

Рассмотрим преобразование T для точек Р, близких к границе C0 области А. Пусть C1 — кривая класса К, проходящая через точку Р, т. е. кривая, соответствующая траектории G1, которая проходит в непосредственной близости от G0. Чтобы составить приближенные уравнения кривой C1, обратимся к методам § 23.4. Выберем такую систему координат и, v, w, чтобы 1) положение точки на траектории зависело только от и, v, а направление элемента траектории — также и от w, 2) уравнение траектории C0 имело вид V = w = 0, а переменная и при полном обходе замкнутой кривой C0 изменялась от 0 до 2я. При движении вдоль кривой C0 имеем

t = u+y(u), (30.11.2)

где ф (и) — периодическая функция с периодом 2я.

Если характеристические показатели устойчивой периодической орбиты G0 равны 0, 0, га, —ісс, то уравнения кривой C1 можно записать в виде (см. § 23.5)

-J- = р sin (т+л), -7-^Pi sin (т+т|) +р2 cos (т+т|), (30.11.3)

где а и и — постоянные интегрирования, причем а мало, а через т обозначено at, так что

т = аи + аф (и), (30.11.4)

откуда видно, что т все время возрастает вместе с и.

Точки пересечения кривых G1 и G0 получим, положив V = 0. Тогда будем иметь

т + т] = Nn, (30.11.5)

где N — целое число. Если M1 — одна из таких точек, a M2 — следующая за ней точка пересечения, то точку M2 называют кинетическим фокусом точки M1. Значения X1 и т2 переменной т в точках M1 и M2 кривой C1 связаны между собой соотношением

Т2 _ Tl = л. (30.11.6)

Поверхность S, на которой расположена область А, определится уравнением

F (и, V, w) = 0. (30.11.7)

Разложение функции F по степеням v и w не содержит постоянного члена, поскольку кривая C0 (v = w = 0) расположена на поверхности (30.11.7). Поэтому линеаризованное уравнение этой поверхности имеет вид

+ g2u> = 0, (30.11.8)

§ 30.11]

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ И ТЕОРЕМА" ОКОЛЬЦЕ

623

где gt и gi — периодические функции от и. Чтобы найти точки пересечения кривой C1 с поверхностью А, подставим выражения (30.11.3) для v и w в уравнение (30.11.8). Проделав это, получим

Pt sin (т + T1) + pi cos (т + T1) = 0, (30.11.9)

где P1 и рч — периодические функции от и. Уравнение (30.11.9) можно представить в эквивалентной форме

R sin (т + A + T1) = 0, (30.11.10)

где A = arctg pilpi. Следовательно, А является функцией от и, производная которой есть периодическая функция. Поэтому А можно представить в виде ти + ф (и), где т — целое число, а ф (и) — периодическая функция. Точки пересечения кривой C1 с поверхностью А определяются уравнением (30.11.10), и, следовательно, величина т + X + T1 кратна я. Но поскольку область А ограничена кривой C0 и за пределы этой кривой не распространяется, сумма т + X + T1 кратна четному числу я:

т 4- X + T1 = 2/от, (30.11.11).

где к — целое число. Если P1 и P2 — две последовательные точки пересечения, то имеем

(т2 + X2) - (T1 + X1) = 2я, (30.11.12)

где т2, Xz относятся к точке P2, a T1, A1 —• к точке P1.
Предыдущая << 1 .. 277 278 279 280 281 282 < 283 > 284 285 286 287 288 289 .. 290 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed