Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ
Гл. XXX
Если [X = 0, то, как мы знаем, уравнения (30.7.7) имеют решения ?r = осг, и для достаточно малых її мы можем найти решения, если определитель матрицы
(<prs (?; н; t) - ors) (30.7.8)
отличен от нуля для ? =а, [X = 0, f = ст.' Обозначим эту матрицу через F:
Us = Фг. («; 0, а) - brs. (30.7.9)
Таким образом, если
\Г\Ф0, (30.7.10)
то уравнения (30.7.7) можно разрешить относительно ?j, ?2, • • •> ?m-Разности ?r — аг являются функциями от li, и при ц. = 0 они равны нулю, так что каждую из них можно представить в виде ряда по степеням [х без постоянного члена.
Эти рассуждения, однако, бесполезны, поскольку на самом деле | F \ — 0. Полагая в равенстве (21.5.7) t = о, получаем
FX (a; 0) = 0. (30.7.11)
В правой части этого равенства стоит нулевой вектор-столбец. Так как X (а; 0) не равно нулю, то
|jP| = 0. (30.7.12)
Таким образом, изложенный метод не позволяет сделать вывода о существовании периодических решений с периодом а для значений [х, близких к [X = 0.
Причину того, что I F | = 0, легко усмотреть из § 21.5. Она состоит, в сущности, в том, что мы можем изменять точку А, в которой начинается орбита, от а до любой точки на орбите. Это показывает, что трудность, связанную с обращением в нуль | F |, можно обойти, если ограничить перемещение точки А плоскостью, проходящей через а и нормальной к орбите, или вообще любой поверхностью, которая не касается орбиты в точке а. Условие (30.7.3) показывает, что не все составляющие Хт (а; 0) равны нулю, и, не уменьшая общности, можно считать,' что
X1n (а; 0) ф0. (30.7.13)
(При желании можно пойти еще дальше. Мы можем выбрать местную прямоугольную систему координат, направив ось хт вдоль касательной к орбите в точке а, т. е. вдоль вектора X в этой точке. Тогда все составляющие вектора X, за исключением Хт, будут равны нулю. Практически, однако, вряд ли стоит поступать таким образом.)
Поставим теперь вопрос о существовании при р, ф0 периодической орбиты с начальной точкой ? такой, что ?m = ат, но ?r ф аг для всех значений г, меньших т. Мы по-прежнему должны удовлетворить т условиям
Фг (?; p.; т) = ?r (30.7.14)
и условию ?m = ат. Это означает, что период изменяет свое значение с о на т. Всего имеем т неизвестных: ?i, ?2, • . ., ?m-i, т. В случае [х = 0, как мы знаем, существует решение <х4, а2, . . ., am_i, о. Составим матрицу Gr, т — 1 первых столбцов которой те же, что у матрицы F, а последним столбцом служит вектор •X (а; 0). Если определитель | G \ этой матрицы не равен нулю, то можно найти решения (при [х = 0 все разности ?4 — Oc1, ?2 — ос2, . . ., ?m_! — ост_ь т — о обращаются в нуль).
Можно указать примеры, в которых выполняется условие | G | ф0 и для достаточно малых [х ^=O существуют периодические решения с периодом, близким к о. Однако в случаях, представляющих практический интерес, обычно I G I = 0, и изложенный метод опять-таки не дает ответа на вопрос о существовании периодических орбит при [х, отличном от нуля.
§ 30.7]
СИСТЕМЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТР
615
Обращение в нуль | G | происходит тогда, когда существует интеграл Якоби или вообще какой-нибудь однозначный пространственный интеграл. Пусть / (хі, х2, ¦ ¦ ., хт; jx) есть такой интеграл. Частную производную Oflox,, обозначим через /г. Предположим, что х = а не является стационарной точкой функции / (х; 0), т. е. не все производные /г (а; 0) равны нулю. Тогда в силу (21.1.9) и (30.7.13) т — 1 первых производных /г (а; 0) не могут все равняться нулю, и, расположив переменные в определенном порядке, мы всегда можем считать, что
fm^ (а; 0) ф0. (30.7.15)
Функция / сохраняет постоянное значение на орбите, так что для любых ?, [X, t
/{cp(?; p.; t), [x} = /(?; li). (30.7.16) Дифференцируя по ?s, находим
т
S fr (я; р) cprs (?; I*; t) = /s (?; p), s = 1, 2, . .., m. (30.7.17)
r=l
Положив в этом равенстве ? = a, p = 0, t = а, перепишем его в следующей форме:
m
S /,(«; 0){Фг8(а; 0; o)-ors}=0, (30.7.18)
г—і
или
DF=O, (30.7.19)
где D обозначает матрицу-строку, r-й элемент которой равен /г(а; 0). G другой стороны, из уравнения (21.1.9) имеем
I)X(a; O) = O (30.7.20)
и из (30.7.19) и (30.7.20) находим
I)G = 0. (30.7.21)
Отсюда в силу того, что D ф0, получаем, что | G | = 0, что и требовалось доказать.
До сих пор нам не удавалось доказать существования периодических орбит для її ф0, но, несколько изменив подход к решению этого вопроса, мы можем провести это доказательство. Рассмотрим сначала вопрос о существовании периодических решений с периодом о. Как и ранее, положим ?m = ocm и разрешим т — 1 уравнений (30.7.7), где г фт — 1, относительно т — 1 переменных ?1; ?2, • • ., ?m-i- В результате мы их выразим как функции от ц.. Разности ?i — Oc1, ?2 — а2, . . ., ?m_4 — ат_ь как обычно, представим в виде рядов по степеням р без постоянных членов. Для того чтобы такое решение было возможно, необходимо, чтобы IH I фО, где матрица H получается из F путем отбрасывания (т — 1)-й строки и иг-го столбца. Если удовлетворяются все уравнения (30.7.7), кроме одного, то это последнее уравнение будет удовлетворяться автоматически благодаря интегралу Якоби. Это утверждение геометрически совершенно очевидно. Чтобы получить формальное доказательство, обозначим фг (?; р; а) через ?r. Тогда
