Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
будем иметь ?r = ?r для всех г, кроме г = т — 1. Поскольку / (х; р) есть интеграл,
0 = / (?; р) - / (?; u) = (pV, - ?m_0 /m_i (?; p), (30.7.22)
616
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ
[Гл. XXX
где ?r = ?r = ?r Для всех г, кроме г = т — 1, причем Vm-i лежит между
?m_i и Vm- Но /m_t (а; 0) ^=0, так что для достаточно малых р, имеем
/m-i (?; M-) Отсюда следует, что Vm-i = Vm-i, и оставшееся уравне-
ние (30.7.7) также удовлетворяется. Таким образом, если \ H \ ф0, то для Ii ф0 существуют периодические орбиты с периодом о.
Наконец, если ц, ф0, то существуют периодические решения с заданным периодом т, где т — о достаточно мало, но не равно нулю, и такие, для которых постоянное значение интеграла / (х; ц) то же, что и для первоначальной периодической орбиты. Присоединим к тп — 1 уравнениям-(30.7.14), где г Ф тп — 1, уравнение
Разрешив эти тп уравнений относительно тп переменных ?b ?2, . . ., ?m-b х, найдем, что разности Vi — cci, ?2 — Ct2, .. ., ?m_i — am-i, т — о представляются рядами по степеням ц. без постоянных членов. Решение возможно при условии, если определитель I К I Ф 0, причем матрица К получается из матрицы
при отбрасывании {тп — 1)-й строки и тп-го столбца. Но (тп — 1)-я строка линейным образом зависит от остальных строк (см. (30.7.19) и (30.7.20)), а тп-ж столбец линейным образом зависит от остальных столбцов (см. (30.7.11? и (30.7.20)). Поэтому наше условие заключается в том, чтобы матрица (30.7.24) имела ранг тп. Если это условие выполнено, то при р, ф0 существуют периодические орбиты с периодом г фа.
На первый взгляд может показаться, что проведенное исследование малопригодно для практических целей, так как для составления матрицы F требуется знать решение (30.7.2) уравнений движения. Но это, однако, не совсем так. Фактически нам требуется знать лишь значения cpra при ? = а, Li = 0, t = о, для чего достаточно знать решение уравнений линейного приближения (уравнений в вариациях) для случая р, = 0. Последнее же решение всегда может быть построено (гл. XXIII). Таким образом, теория Пуанкаре дает нам практически удобный метод доказательства существования периодических решений.
§ 30.8. Приложение к ограниченной задаче трех тел. Предположим, что величины а + ? и I фиксированы, следовательно, фиксировано и значение и = у (а + ?)/i3. Выберем ц. равным ?/(cc + ?). Случай [х = 0 соответствует движению в поле ньютоновского притяжения к неподвижному центру. Для этого случая уравнения движения в обозначениях § 28.2 имеют вид
/(?; V) = /(«; 0).
(30.7.23)
(30.7.24)
(30.8.1)
где
(30.8.2)
S 30.8]
ПРИЛОЖЕНИЕ К ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ
617
Обозначив производные х и у соответственно через и is. V, напишем эквивалентную систему уравнений первого порядка:
(30.8.3)
X = U,
y = v,
и = 2(ov 4 - а>гх — Co2Z3 -+.
V= —2(ои + (о2у — аЧ3~.
Равномерное вращение по окружности радиуса к описывается уравнениями
X = ks, у = — кс, и = ркс, V = pks, (30.8.4)
где
с = cos pt, s = sin pt. (30.8.5)
Это движение возможно, если выполняется условие
к3 (р + со)2 = I3(о2. (30.8.6)
Условие (30.8.6) очевидно из элементарных соображений, в справедливости его можно убедиться также непосредственной подстановкой в уравнения движения. Период движения относительно вращающихся осей равен а = 2л/1 р |.
Равновесное решение р = 0 следует исключить, так же как и случаи р = — со и р = — 2ю. Случай р = — со требует бесконечно большого значения А:, а в случае р = — 2со имеем к = I, и если р ф0, то точка В с координатами ((1 — р) /, 0) является особой и при р -> 0 стремится к точке на окружности г = I.
Обозначим х, у, и, v через X1, х2, х3, хк и составим уравнения в вариациях. С этой целью положим
X1 = ks + yt, X2 = — кс + у2, х3 = ркс + у3, хк = pks + г/4. (30.8.7)
Так как
то
г2 = к2 + 2к (yiS - у2с) + (у\ + уі),
(30.8.8) (30.8.9)
(30.8.10)
г* к* \ к
Теперь нетрудно написать уравнения в вариациях:
У і = Уз, У% = Уі,
Уз = — (P2 + 2/х») у і + 2сог/4 + 3 (р + со)2 s (yts — у2с), Уі = — (Р2 4 2ра) у2 — 2сог/3 — 3 (р + со)2 с (r/,s — у2с). Введем новые переменные z:
Zi = ^iS-у2с, Z2 = у +y2s, z3 = y3s — yic,- zi = y3c+yis. (30.8.11) В новых переменных уравнения будут иметь вид
Z1 = pz2 4 Z3, Z3 = (2р2 + 4рсо + Зсо2) Z1 + (P + 2со) z4, ^ Ч = — Р*і 4 z4, Z4 = — (р 4 2со) (pz2 + Z3), j
(30.8.12)
618
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ
[Гл. XXX
т. е. будут линейными уравнениями с постоянными коэффициентами. Эта система имеет следующее решение:
z1 = — 2А — (8С + ф?),
Z2 = В + 3 (р + а) At — 2 (фС — QS),
z3= -p{B+3(p + (o)At} + (p-co) (cpC-ftS),
z4 = (р + Зсо) А + (р + 2со) (QC + Ф5).
Здесь
С = cos (р + со) t, S= sin (р + со) t, а постоянные Л, В, 6, ф определяются равенствами
Q3 + со) Л = (р + 2со) у2 — Y3, (р + а)В= —(p-co)Yi+ 2y4, (р + со) 8 = -(р + Зсо) Y2+ 2y3, (р + со) ф= —PYi + 74,
(30.8.13)
(30.8.14)
(30.8.15)
где Yr есть начальное значение уг. Матрица (p + co)i имеет вид