Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3.7. Принцип Гамильтона *). Основное уравнение дает возможность без труда получить изящную теорему, известную под названием принципа Гамильтона. Рассмотрим движение механической системы в промежутке времени от to до ti. Рассмотрим затем для каждого момента времени виртуальное перемещение 8.T1, Ьх2, . . ., bxN из положения X1, х2, . . ., xN, занимаемого в действительном движении. Виртуальное перемещение произвольно, за исключением того, что его составляющие Sx1, 8х2, . . ., 8xN суть функции от t, принадлежащие классу C2 и обращающиеся в нуль в моменты Z0. и ti. О последовательности положений х + 8х можно говорить как о варьированном пути; следует, однако, отдавать себе ясный отчет, что это не есть возможный путь, т. е. путь, удовлетворяющий уравнениям связи. В самом деле, в случае неголономной системы варьированный путь, вообще говоря, не является возможным (§ 3.8).
Обозначим через 8Т разность между значением T в момент t на варьированном пути и значением T в тот же момент в действительном движении. Пользуясь сокращенными обозначениями (§ 2.2), находим
8Т = У 2 m {(* + 6*)2 _ *2} = 2 тх Ьх + У 2 т б*2>
*) Принцип Гамильтона содержится в его первом знаменитом сочинении 1834 г. [16].
48
ПЕРВАЯ ФОРМА ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ
[Гл. IH
где суммирование совершается по всем N координатам. Предположим теперь,
что величины Ox и 8х — малые порядка е, и отбросим слагаемые порядка є2. Тогда справедливо соотношение
ЬТ=^тхЬ'х (3.7.1)
и, поскольку вариации синхронны,
Отсюда
Ьх = -^Ьх. (3.7.2)
\ 6TaIt= ( ^mxbxdt = j т'х(ox) dt =
<о to (о
tl
= 2 тх $х J1-J 2 тх ^х
Первое слагаемое в правой части равно нулю, так как в моменты t0 и t\ 8х обращается в нуль. В результате получаем
(і «і
j (бГ-!- 2 ХЬх) dt= - j j2 (т'х-Х) oxj dt. (3.7.3)
to to
Поскольку бае есть виртуальное перемещение, правая часть в этом равенстве в силу основного уравнения (3.1.1) обращается в нуль, и мы приходим к равенству
j (бГ + 2*6*) dt = 0. (3.7.4)
to
Оно выражает известный принцип Гамильтона. Если заданные силы консервативны, то (3.7.4) можно записать в виде
j 8 (T — V) dt = 0. (3.7.5) to
Применяя принцип Гамильтона, следует помнить, что концевые точки, а также начальный и конечный моменты времени фиксированы.
Таким образом, мы доказали, что, отправляясь от действительного движения и варьируя путь указанным выше способом, мы приходим к равенству (3.7.4), которое выражает необходимое условие движения. Это условие, однако, является также и достаточным. Если х (<) есть геометрически возможное движение системы, т. е. путь в TV-мерном пространстве, удовлетворяющий условиям (2.2.5), и если равенство (3.7.4) справедливо для произвольной вариации описанного типа, то исходное движение является действительным (динамически возможным) движением системы. Для доказательства заметим, что условие (3.7.4) означает, что правая часть равенства (3.7.3) обращается в нуль для всех вариаций Ox описанного выше типа. Ранг матрицы (Ars) в уравнениях (2.2.9) равен L1 поэтому наиболее общее виртуальное перемещение ох в момент t является линейной комбинацией к независимых перемещений 6ж(1), бж<2), . . ., 6aJ<h>, так что r-я компонента ох, т. е. 6хг может быть представлена в форме
h
oxr=^Xsoxr*>. (3.7.6)
8=1
В результате получаем
ii h N
Л = 0. (3.7.7)
§ 3.8]
ВАРЬИРОВАННЫЙ ПУТЬ
49
Множители % — функции от t, непрерывные в промежутке [t0, tj и обращающиеся в нуль в моменты t0 и tj, а в остальном произвольные; поэтому коэффициент при каждом X в подынтегральной функции (3.7.7) должен быть равен нулю. Это показывает, что в каждый момент времени удовлетворяется основное уравнение (3.1.1), и, следовательно, исходное движение является динамически возможным.
Если система голономна, то вместо (3.7.5) можем написать
«і
б ^ (T - V) dt = 0. (3.7.8)
В этом случае значение интеграла J(T1 — V) dt, принимаемое в действительно
ном движении, стационарно по отношению к его значениям в близких к нему движениях с одними и теми же концевыми значениями координат и одними и теми же значениями начального и конечного моментов времени. Если, однако, система не является голономной, то от уравнения (3.7.5) нельзя перейти к (3.7.8), если только не трактовать последнее условно как эквивалентное (3.7.5) в некотором смысле. Если же система неголономна и (3.7.8) интерпретируется естественным образом как условие стационарности интег-
рала j (T — V) dt по отношению к геометрически возможным соседним путям Io
с теми же концевыми точками и теми же начальным и конечным моментами времени, то утверждение (3.7.8) перестает быть верным. К этому вопросу мы еще вернемся в гл. XXVI.
Принцип Гамильтона представляет большой теоретический интерес, но практическое значение его для решения задач невелико. По существу, он выражает основное уравнение в проинтегрированном виде. Результаты, получаемые с помощью принципа Гамильтона, практически обычно могут быть получены более быстрым путем непосредственно из основного уравнения. В § 3.9 приведены два примера, относящиеся к системам с непрерывно распределенной массой; они это достаточно ясно иллюстрируют. Результаты, полученные в § 3.9 из основного уравнения, могут быть получены и из принципа Гамильтона, но, как легко видеть, первый путь является более коротким.
