Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Если через z обозначить вертикальную координату обезьяны (рассматриваемой как материальная точка), а через ? — координату противовеса в момент t, то выражение С запишется в следующей форме:
С = 1 {т (V+ gf+M (?+ gY). (4.4.4)
Пусть при t = 0 z = ? = 0; тогда z + ? = ф и
С = -І {т (V+ gf + M (ф - V+ g)2}. (4.4.5)
Требуется определить значение z, минимизирующее выражение С. Оно находится из уравнения
(M+m)z = My+(M-in)g. (4.4.6)
Решение этого дифференциального уравнения имеет вид
(M+m)z = My-T-^(M-m)gt*. (4.4.7)
В частном случае, когда M = т, получаем z == ? = ф, т. е. обезьяна
и противовес находятся на одной и той же высоте.
Пример 4.4С. Частица на движущейся наклонной плоскости. Клин массы M скользит по столу, а частица массы т движется по наклонной плоскости клина, образующей с плоскостью стола угол а. Все поверхности гладкие* Движение происходит в вертикальной плоскости, проходящей через линию наибольшего наклона. Найти движение частицы.
Если через / обозначить ускорение клина в момент t, а через /' — ускорение частицы относительно клина в этот же момент времени, то выражение для С запишется в виде
С = 1 Mf +1 т {(/' cos а - /)2 + (/' sin а - g)2}. (4.4.8)
Из уравнений дСldf = 0 и dC/df = 0 находим
та cos а М + тга Af + Tn sin2 а v
Следовательно, / и /' постоянны.
58
ВТОРАЯ И ТРЕТЬЯ ФОРМЫ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ
[Гл. IV
§ 4.5. Физический смысл принципа Гаусса. Рассмотрим систему, заданную в момент
• • •
t координатами X1, х2, . . ., xN и скоростями X1, х2, . . ., xN. Требуется определить ускорения X1, X2, . . ., Xn.
Пусть а — положение некоторой частицы в момент *, а с — ее положение в момент t + dt в действительном движении. Обозначим через Ь положение этой частицы в момент t + dt, которое она занимала бы, если бы не было наложено связей, т. е. под действием одних только заданных сил. (В общем случае конфигурация положений Ь, конечно, невозможна.) Тогда составляющая ас по оси х приближенно будет равна
1 ..
xdt+Yxdt2> (4.5.1)
а составляющая ab по оси х—
'xdt + ^—dfi. (4.5.2) 2 т
Отсюда
2Sm(bc)* = dt*C, (4.5.3)
и физический смысл принципа Гаусса заключается в том, что действительное ускорение минимизирует величину 25m (be)2, при любом другом ускорении эта величина была бы больше. Если, следуя Гауссу, сумму 2Sm (Ьс)2 принять за меру отклонения системы от того движения, которое она имела бы при отсутствии связей, то можно сказать, что система имеет движение, наиболее близкое к свободному.
Глава V ЛАГРАНЖЕВЫ КООРДИНАТЫ
§ 5.1. Выбор лагранжевых координат *). До сих пор мы пользовались декартовыми координатами. В дальнейшем мы не будем себя связывать ограничениями в выборе системы координат и перейдем к координатам более общего типа. Введение таких координат может быть сопряжено с известными трудностями, однако это — трудности скорее алгебраического характера, чем динамического. Нужно отличать трудности, присущие самому изучаемому явлению, от трудностей, связанных с выбранной системой координат.
Выбор лагранжевых координат производится следующим образом. Выбираются п параметров qt, q2, . . ., дп, значения которых определяют конфигурацию системы в момент времени t. Декартовы координаты Х\,х2, ... . . ., Xn точек системы будут некоторыми функциями от q и t. (В большей части случаев координаты х являются функциями только от q и не зависят от t.) Выбор координат qu q2, . . ., qn должен быть произведен таким образом, чтобы их значения представляли все возможные конфигурации системы, а не некоторую совокупность возможных конфигураций.
Как мы увидим, для голономной системы число п можно взять равным числу степеней свободы к. Для неголономной системы наименьшее значение п равно к + I, где I есть инвариант системы, определяемый уравнениями связи.
В дальнейшем (§§ 5.7 и 5.8) будет указана формальная процедура перехода от декартовых координат к лагранжевым. Однако в ряде задач выбор лагранжевых координат напрашивается сам, и потому нет необходимости обращаться к формальным методам, развитым для общей механической системы.
Ниже приводятся несколько примеров.
1) Простой маятник. Тяжелая точка движется без трения по окружности в вертикальной плоскости. Такое движение можно осуществить, например, заставив бусинку скользить по гладкой проволоке, изогнутой в форме окружности радиуса а. Или же можно частицу соединить с концом невесомого стержня длины а, другой конец которого шарнирно закреплен в точке О, так что стержень может свободно качаться в вертикальной плоскости около этой точки. Положение частицы на окружности будет определяться углом 0, отсчитываемым от наинизшей точки окружности. Декартовы координаты частицы х, у будут связаны с лагранжевой координатой 0 формулами
X = о sin 0, у = о cos 0. (5.1.1)
Ось Ox здесь горизонтальна, а ось Oy направлена вертикально вниз.
2) Центральная орбита. Частица совершает плоское движение под действием силы, все время направленной в начало координат О. В качестве лагранжевых координат возьмем полярные координаты г, 0. Декартовы координаты х, у будут связаны с лагранжевыми координатами формулами
