Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3.8. Варьированный путь. Используемый в принципе Гамильтона варьированный путь, вообще говоря, не является возможным, если система неголономна, иначе говоря, система не может следовать по варьированному пути без нарушения наложенных на нее связей. Для доказательства этого утверждения достаточно рассмотреть простой конкретный пример.
Пусть частица движется в пространстве, и пусть на нее наложена связь, выражаемая уравнением
со =з a dx + Ъ dy -f- с dz = 0, (3.8.1)
где а, Ъ и с — функции от х, у, z класса Си и форма Пфаффа со не допускает интегрирующего множителя. Исходная траектория, несомненно, удовлетворяет условию (3.8.1). Это же, согласно предположению, справедливо для вариаций траектории. Таким образом, !имеем
4 л. Л. Паро
ах -f- by -f- cz = О, а 8х + Ъ by + с бг = 0.
(3.8.2) (3.8.3)
50
ПЕРВАЯ ФОРМА ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ
[Гл. III
Спрашивается, удовлетворяет ли варьированный путь этим условиям? Предположим, что это так, т. е. что справедливо равенство
б (ах + by + cz) = 0. (3.8.4) Условие (3.8.3) соблюдается в любой момент времени, так что
-^¦(a8x+b8y + cbz) = 0. (3.8.5) Вычитая (3.8.4) из (3.8.5) и пользуясь (3.7.2), находим
^Ьх-х8а) + (^8у-у8Ь) + а*-гвс) =0, (3.8.6) или, подробнее,
+ (*6У-у6*) = 0. (3.8.7)
Но согласно (3.8.2) и (3.8.3)
у Oz—zby _ Z OX—X 6z _X by — у Ьх
а Ъ с *
и поэтому (оставляя в стороне тривиальный случай, когда bxlx = oy/y =--
= bzlz и перемещение происходит вдоль самой исходной траектории), учитывая (3.8.6) и (3.8.7), находим *)
Но равенство (3.8.8) невозможно, поскольку уравнение (3.8.1) неин-тегрируемо. Предположение, что варьированный путь геометрически возможен, приводит, таким образом, к противоречию **).
В случае голономной системы этой трудности не возникает и варьированный путь всегда оказывается возможным.
§ 3.9. Распределенные системы. В классической механике изучаются главным образом системы, имеющие конечное число степеней свободы, о них в основном и будет идти речь в этой книге. Тем не менее естественно предположить, основываясь на физических соображениях, что основное уравнение справедливо также и для распределенных систем, имеющих бесконечное число степеней свободы, например движущейся жидкости или колеблющейся струны.
В таких задачах суммирование в основном уравнении заменяется интегрированием. В этом параграфе мы рассмотрим два таких примера. Сначала рассмотрим задачу классической гидродинамики.
1) Идеальная (невязкая) несжимаемая жидкость находится под действием заданных сил и заключена между внутренней и внешней границами,
*) Уравнение (3.8.8) является условием существования интегрирующего множителя для формы Пфаффа (3.8.1). (Прим. перев.)
**) Приведенный здесь пример (показывающий, что варьированный путь для неголономной системы, вообще говоря, не является возможным путем) представляется наиболее естественным. Его рассматривали многие ученые, работавшие в этой области механики. Он содержится, например, в известной работе Гёльдера о вариационных принципах динамики: О. Гёльдер, О принципах Гамильтона и Мопертюи, в сборнике «Вариационные принципы механики» под ред. Л. С Полака, M., Физматгиз, 1959. Другие примеры см. в § 5.11.
§ 3.9]
РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ СИСТЕМЫ
51
которые либо находятся в покое, либо совершают движение. Движение границ должно быть таким, чтобы заключенный между ними объем оставался неизменным; это условие автоматически выполняется, если границы представляют собой твердые поверхности.
Но здесь мы наталкиваемся на трудность. Движение жидкости полностью определяется движением ее границ, каковы бы ни были действующие на жидкость силы. Что же в таком случае можно получить из основного уравнения?
Оказывается, что основное уравнение устанавливает существование функции давления, при помощи которой полностью описываются внутренние напряжения в жидкости.
Основное уравнение для непрерывных систем имеет вид
J р {(/ - X) и + (g - Y) и + (h - Z) W} dx = 0. (3.9.1)
В этом уравнении р обозначает плотность жидкости (не обязательно однородной), /, g, h — составляющие ускорения, X, Y, Z — составляющие заданной силы на единицу массы жидкости, и, v, w — составляющие произвольной виртуальной скорости. Интегрирование производится по всему пространству, занятому жидкостью. Уравнение (3.9.1) можно записать в векторной форме:
JP. Udx = 0. (3.9.2)
Здесь JP есть вектор {р (/ — X), р (g — Y), р (h — Z)}, а виртуальная скорость U такова, что div TJ = 0 и нормальная составляющая CTn на граничной поверхности S обращается в нуль. Если
U = TOtA, (3.9.3)
то удовлетворяется уравнение неразрывности. Полагая
А = 0 Уф, (3.9.4)
где 0 и ф — скалярные функции класса C2, получаем
l7 = rot^l = V0x Уф. (3.9.5)
Линии тока поля виртуальных скоростей (с фиксированными граничными поверхностями) представляют собой линии пересечения поверхностей 0 = const и ф = const, так что если в качестве 0 мы выбираем функцию, которая на поверхности S обращается в нуль, то на этой поверхности обращается в нуль и Un.
