Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
(? - X1)2 + (у2 - г/,)2 = а\ (2.1.7)
(#2 — Vi) Ux1 — (х2 — X1) Uy1 = 0. (2.1.8
Уравнение Пфаффа (2.1.8) неинтегрируемо, и система неголономна.
Система имеет две степени свободы, но тем не менее при движении из данной точки достижимо трехпараметрическое множество положений. Действительно, любое конечное положение может быть достигнуто из любого начального. Доказательство легко получается из простых геометрических соображений. С другой стороны, положение системы можно характеризовать тремя переменными X1, Jz1, z, где
Z= У2~Уі (2.1.9)
X2-X1
есть тангенс угла между осью Ox и стержнем P1P2. Уравнение связи Пфаффа принимает вид
Uy1 — ZdX1 = 0. (2.1.10)
Такая форма уравнения связи уже рассматривалась в § 1.8, и мы видели там, что любое конечное положение системы может быть достигнуто из любого начального положения.
§ 2.2. Система материальных точек. Мы рассмотрели несколько простых примеров механических систем и проиллюстрировали некоторые фундаментальные понятия динамики. Перейдем теперь к общей теории механических систем.
Рассмотрим конечное число v частиц и примем, что каждая частица сохраняет в процессе движения свою индивидуальность, так что о каждой из них можно сказать: «Вот частица, которая в момент t = 0 была там-то, а сейчас находится здесь». Таким образом, мы можем пронумеровать все частицы и раз навсегда приписать им номера 1, 2, . . ., v. Массу каждой частицы мы будем считать постоянной (хотя это предположение и не является существенным для самого понятия механической системы; позже, в гл. XI, мы рассмотрим случай, когда масса частицы известным образом зависит от ее скорости). Координаты частиц относительно неподвижной прямоугольной системы осей будем обозначать через X1, х2, ¦ . ., xN, где N = 3v, так что
3*
36
МЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
[Гл. II
частица под номером г будет иметь координаты ?зг_2, хзт_1: х3г. Массу этой частицы будем обозначать через m3r_2, игзг-і или m3r. Такой способ обозначения практически оказывается более удобным.
В тех случаях, когда мы захотим сосредоточить свое внимание на v частицах, а не на N координатах, мы будем координаты частицы массы m обозначать через х, у, z, а суммирование по v частицам — через 2. Таким образом, выражения
2 m (хЬх + у oy + z 6z) (2.2.1)
и
* ..
2 mTxTbxT (2.2.2)
T=I
будут обозначать одно и то же. Последнее выражение можно записать немного проще, если отбросить индексы; тогда будем иметь
^тпхЬх (2.2.3)
Такую сокращенную форму записи (с отброшенными индексами) мы будем применять, не опасаясь путаницы, когда будем подразумевать суммирование по N.
Частицы находятся под действием заданных сил Xi, X2, ¦ ¦ ., Xn; составляющие силы, действующей на r-ю частицу, будут Хзт.2, X3t-i, Х3г.
Задать силы — значит задать их как функции х, х и t.
Иногда X1, х2, . . ., Xn удобно рассматривать как координаты изображающей точки в iV-мерном пространстве. Эту точку, или вектор {xt, X2,... . . ., xN} мы будем обозначать символом х. Подобным же образом, сила
{Xi, X2, . . ., Xn} будет обозначаться через X, скорость {хи х2, ...
. . ., Xn} — через X или и и т. д.
Возможные перемещения частиц не являются произвольными (за исключением задачи v тел, где мы имеем совокупность v свободных частиц): они связаны L уравнениями связи
n
2 4,.+ 4.A = 0, г= 1,2, L<N. (2.2.4)
Коэффициенты Ars, Аг — функции класса Ci, определенные в некоторой области значений Xi, х2, . . ., xN; t. Уравнения (2.2.4) предполагаются независимыми, а число их — наименьшим. Это означает, что ранг матрицы из коэффициентов равен L (хотя практически для отдельных значений х, t ранг матрицы может быть меньше L). В уравнениях
2ЛА + Л-0, г = 1,2, ...,L, (2.2.5)
S=I
можно задать JV — L значений х; остальные L значений х определятся из уравнений. Величина
U = N-L (2.2.6)
определяет число степеней свободы системы; оно равно числу составляющих скорости, которые могут быть заданы произвольно.
В простейшем и наиболее распространенном случае система уравнений Пфаффа (2.2.4) вполне интегрируема, т. е. эквивалентна L уравнениям вида
dfr = 0, г = 1, 2, . . ., L, (2.2.7)
§ 2.-2]
СИСТЕМА МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
37
где
fr — fr (#1» x2i • • •i xNi О-
В этом случае система называется голономной и уравнения связи могут быть записаны в виде
U = ст. (2.2.8)
Практически уравнения связи часто задаются не в форме (2.2.4), а в форме (2.2.8), причем постоянные сг имеют заданные значения.
Каковы бы ни были действующие на систему силы, движение ее подчиняется уравнениям связи (2.2.5). Процедура, с помощью которой это достигается, была проиллюстрирована ранее на примерах. Вводятся реакции связи X1, Х'2, . . ., Xn (или, короче, реакция связи X'), подчиненные условию, что они не совершают работы на любом виртуальном перемещении. Виртуальное перемещение определяется как любое перемещение Oz1, 6^r2, • • • . . ., 8xN, удовлетворяющее уравнениям
S^rAc = O, г = 1,2, (2.2.9)
S=I
