Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Парс Л.А. -> "Аналитическая динамика" -> 23

Аналитическая динамика - Парс Л.А.

Парс Л.А. Аналитическая динамика. Под редакцией Рубашева А.Н. — М.:Наука, 1971. — 636 c.
Скачать (прямая ссылка): analitdinamik1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 290 >> Следующая


ху — ух = const. (3.2.13)

Полученный результат выражает теорему площадей: быстрота изменения площади, ометаемой радиус-вектором точки, остается постоянной.

Другим примером, для которого справедливо равенство (3.2.13), может служить частица, скользящая под действием силы тяжести по гладкой поверхности вращения, имеющей вертикальную ось Oz. Если в качестве поверхности вращения взять сферу с центром на оси Oz, то мы будем иметь сферический маятник.

§ 3.3. Катастатическая система и первая форма уравнения энергии.

В случае катастатической системы — т. е. когда коэффициенты АТ в уравнении связи (2.2.4) тождественно равны нулю — класс виртуальных скоростей совпадает с классом возможных скоростей. В частности, действительная скорость системы является виртуальной скоростью, и в основном уравнении (3.1.1) вместо Ьхт можно написать хт. Тогда получим уравнение

2 ттхгхг= 2 Хтхт, (3.3.1)

г= і r=l

или

N

¦§- = 2 XrXr, (3.3.2)

r=l

где

Л'

r=l

— кинетическая энергия системы. Ее можно записать в следующих эквивалентных формах:

r = {Sm(^4J4H (3-3-4)

Таким образом, кинетическая энергия равна половине суммы произведений масс точек на квадрат их скоростей.

44

ПЕРВАЯ ФОРМА ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ

ІГл. III

Уравнение (3.3.2) представляет собой первую, или простейшую, форму уравнения энергии. Оно выражает тот факт, что скорость изменения кинетической энергии равнао скорости, с которой совершается работа заданных сил. Уравнение справедливо для любой катастатической системы, включая системы, у которых коэффициенты Ars в уравнениях связи зависят от t.

§ 3.4. Консервативные силы и вторая форма уравнения энергии. До сих

пор мы под X понимали действительные координаты точек (щстемы в момент і и искали X как функции от t. Рассмотрим теперь все поле координат х. а не совокупность значений, принимаемых системой в процессе движения. Координаты X будут временно играть роль независимых переменных.

Пусть заданные силы X1, X2, ¦ ¦ ., Xn зависят только от х и не зависят

N

от X и t. Во многих случаях форма Пфаффа 2 %r dxr, фигурирующая в ОСНОВНІ

ном уравнении (3.1.1), является полным дифференциалом однородной однозначной функции — V аргументов хи х2, . . ., xN:

N

^Xr dxr=— dV. (3.4.1)

При этом говорят, что заданные силы консервативны (или что механическая система консервативна), а функцию V называют потенциальной энергией заданных сил (или системы).

Если заданные силы консервативны, то для произвольного замкнутого контура в iV-мерном пространстве ас справедливо равенство

N

Этот результат следует непосредственно из (3.4.1). Легко видеть, что, и обратно, существование функции V, удовлетворяющей условию (3.4.1), вытекает из (3.4.2). В самом деле, значение функции V в точке P пространства

N

равно интегралу — XrdxT, взятому по произвольной кривой, соеди-

г=1

няющей неподвижное начало координат О с точкой Р.

Если система консервативна, то основное уравнение (3.1.1) можно записать в следующей форме:

N

2 mrxroxr + oV = 0. (3.4.3)

r=l

В § 1.2 был приведен простой пример консервативной системы, состоящей из одной частицы. Другой простой пример представляет частица, движущаяся в силовом поле —VF. Если поле однородно и вектор напряженности его равен mg и направлен в отрицательную сторону оси Oz, то потенциальная энергия равна

V = mgz.

Для поля сил притяжения ф(г) к началу координат О (г = Ух2-\- г/2 + г2) имеем

г

F=J9(I)^.

§ 3.4) КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИЛЫ И ВТОРАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЯ ЭНЕРГИИ 45

Другими частными случаями являются 1) изотропный осциллятор, для

1 " %

которого ср (г) == тпгг, V = jmnh2, и 2) притяжение по закону Ньютона,

для которого ср (г) = um/r2, V = — um/r. Во всех этих случаях постоянной интегрирования, можно придать какое угоднр значение; практический интерес представляет лишь изменение V при переходе системы из одного положения в другое. Для систем, содержащих много частиц, примером консервативной силы может служить сила притяжения между двумя частицами, когда она зависит от расстояния г между частицами. Если сила притяжения

г

равна ср (г), то потенциальная энергия определяется интегралом | ср (?) d?.

В частности, еслиср (г) = Zc (г — о), то потенциальная энергия равна -^- к (г —

— а)2; если ср (г) дается ньютоновским притяжением уМтп/г2, то потенциальная энергия равна — yjMm/r. В случае трех взаимно притягивающихся частиц имеем

у _ _ / m2m3 Tn3M1 Tn1In2 \

M Го гзі Пг I '

где TtI1, /7г2, т3 — массы частиц, а г у — расстояние между частицами і и /. Обобщение на случай v тел представляется очевидным.

Вернемся теперь к катастатической механической системе и предположим, что заданные силы консервативны и потенциальная энергия равна V. Подставим в выражение для функции V значения координат X11 х2, . . ., xN, принимаемые в момент t при некотором действительном движении системы. Теперь V представляет собой не значение потенциальной энергии в произвольной точке, а ее значение в определенной точке в момент t. При этом
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 290 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed