Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Такое ограничение привело бы к упрощению теории, но исключило бы из рассмотрения многие важные и интересные задачи.
Вдальнейшем мы будем придерживаться определения механической системы, данного в § 2.2. Нетрудно сообразить, как следует видоизменить теорию в соответствии с только что перечисленными ограничениями; значительно труднее установить влияние какое окажет на теорию расширение основных предпосылок, рассмотренных в начале этого параграфа.
fr ixli x2i • ¦ •i XN' Ц — c7"
(2.2.8)
Глава III ПЕРВАЯ ФОРМА ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ
§ 3.1. Основное уравнение. Рассмотрим механическую систему, определенную в § 2.2. Имеем N уравнений движения
тпгх'г = Хт+ Х'т, г = 1, 2, . . ., N. (2.2.12)
Реакции связи Х'г удовлетворяют условию
N
2х;бхг=о (2.2.10)
г=1
для любого виртуального перемещения Sx1, 8х2, . . ., 8xN. Отсюда немедленно вытекает основное уравнение механической системы
(mr'x'r — Xr)bxr = 0. (3.1.1)
Это уравнение справедливо для любого виртуального перемещения. Одновременно оно является обобщением принципа виртуальной работы в статике и принципа Даламбера для твердого тела. Важное значение имеет то, что это уравнение не содержит реакций связи. Впервые основное уравнение было получено в 1760 г. Лагранжем; см. [4]. Оно является основным уравнением излагаемой нами теории. Мы представим его в нескольких различных формах и форму (3.1.1) будем называть первой формой основного уравнения.
Основное уравнение можно также без труда получить из уравнений движения (2.2.13), приведенных в § 2.2. Умножая г-е уравнение
L
MrXr = Xr+ S ЬтпАтпт, г = 1,2, N, (2.2.13]
m=l
на 8хт и суммируя от г = 1 до г = N1 находим
JV-, NN
2 (тПгХг — Xr) Ьхт = 2 ^m(S AmrbXr). (3.1.2)
r=l т=1 г=1
Поскольку 8xi, 8х2, . . ., 8xN — виртуальные перемещения, правая часть в силу (2.2.9) обращается в нуль, и мы вновь приходим к (3.1.1).
Пользуясь обозначениями § 2.2, можно записать основное уравнение (3.1.1) в следующей форме:
S {{nut - Х)8х + (my - Y) Oy + (ни - Z) 8z} = 0 (3.1.3> или, в сокращенных обозначениях,
S (та — X) 8х = 0.
(3.1.4)
42
ПЕРВАЯ ФОРМА ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ
[Гл. III
Напомним, что сокращенные обозначения мы употребляем лишь тогда, когда суммирование производится по N координатам.
Эту главу мы посвящаем непосредственным приложениям уравнения (3.1.1).
§ 3.2. Сохранение импульса. Среди виртуальных перемещений может оказаться такое, при котором вся система как твердое тело перемещается вдоль оси х без вращения. Тогда для каждой частицы в уравнении (3.1.3) можно положить
Ьх = a, by = 0, 6z = 0, (3.2.1)
где а — произвольное вещественное число. Уравнение (3.1.3) приобретает при этом форму
Sm'x = SX. (3.2.2)
Этот результат можно упростить. В правой части (3.2.2) можно отбросить все внутренние силы, так как они попарно равны и противоположны. В результате получаем равенство
Smx = S'X, (3.2.3)
в котором символ S' обозначает суммирование по заданным внешним силам.
Сумму в правой части (3.2.3) можно было бы, конечно, заменить на сумму всех внешних сил. В уравнение (3.2.3) внешние силы, являющиеся реакциями связи, не входят, и отсутствие их оправдывается тем, что класс виртуальных перемещений системы содержит перемещения (3.2.1).
В простейшем случае правая часть уравнения (3.2.3) равна нулю:
Smx = 0. (3.2.4)
Следовательно,
Smx = const.; (3.2.5)
Это равенство выражает теорему о сохранении импульса. Поскольку
Smx = (Sm) I, (3.2.6)
где I, т), ? — координаты центра тяжести (центра масс) G системы, равенство (3.2.5) можно переписать в эквивалентной форме:
І = const. (3.2.7)
В частном случае, когда система представляет собой твердое тело и сумма проекций заданных сил на ось х равна нулю, составляющая скорости центра тяжести G вдоль этой оси остается постоянной. В задаче v тел, где все заданные силы являются внутренними силами, центр тяжести движется равномерно и прямолинейно. Можно пользоваться ньютоновой системой отсчета, в которой центр тяжести находится в покое.
Подобно предыдущему, можно так выбрать класс виртуальных перемещений, чтобы он включал бесконечно малый поворот всей системы как твердого тела вокруг оси Oz. В этом случае в уравнении (3.1.3) для каждой частицы можно положить
Ьх = — у 69, by = х 69, 6z = 0. (3.2.8)
Тогда будем иметь
Sm (ху — ух) = S \xY — уХ). (3.2.9)
§ 3.3] КАТАСТАТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА И ПЕРВАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЯ ЭНЕРГИИ 43
Опуская, как и ранее, все внутренние силы в правой части, получаем
5т (ху — ух) = S' (xY - уХ). (3.2.10)
Если сумма моментов внешних сил относительно оси Oz равна нулю, то
Sm (ху - ух) = 0 (3.2.11)
и, следовательно,
Sm (ху — ух) = const. (3.2.12)
Равенство (3.2.12) выражает теорему о сохранении момента количеств движения.
В качестве примера рассмотрим частицу, движущуюся в плоскости с = 0 под действием центральной силы с центром в точке О', момент ее относительно центра, таким образом, будет равен нулю. Имеем
