Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
унш20*2—mga cos Q = h. (5.2.1)
Положим h = mgai\, где т) — безразмерная величина, а ац — высота энергетического уровня Я над центром окружности (рис. 3). В этих обозначениях уравнение (5.2.1) переписывается в виде
i02 = n2(r| + cos9), n2 = J-. (5.2.2)
Это уравнение принадлежит к типу (1.2.10), и решение его уже было нами исследовано. Если т) < — 1, то движение невозможно. График правой части уравнения (5.2.2), приведенный на рис. 4, показывает, что могут иметь место четыре следующих случая:
1) t) = — 1; частица находится в покое в положении устойчивого равновесия при 0 = 0;
62
ЛАГРАНЖЕВЫ КООРДИНАТЫ
[Гл. V
2) — 1 < т) < 1; частица совершает либрационное движение в пределах от —а до а, т. е. совершает типичное для маятника движение;
3) т) = 1; частица находится в покое в положении неустойчивого равновесия при 9 = я или совершает лимитационное движение, при котором 9-> я (или —я), когда t-*-oo;
В
Рис. 3. Рис. 4.
4) т) > 1; угол 0 непрерывно возрастает вместе с t (если в начальный
момент 0 >• 0).
Рассмотрим эти случаи более подробно.
1) При изменении т) от —1 до —1 + бт) имеют место малые колебания около положения 0 = 0 с периодом 2я/и и амплитудой }^28т) (см. пример 1.2А).
2) т)=—cos а, -j92 = п2 (cos0 — cos а) = 2га2 (sin2-|-a — sin2 у 9 ).
Полагая
1 1
sin Y 9 = sin-j a sin ф,
находим
Ф2 = ?г2(1 —А2вт2ф), A = sin у a. (5.2.3)
Решение, удовлетворяющее условию 0 = ф = 0 при t = 0, имеет вид
sin ф = sn nt. (5.2.4) Таким образом, окончательно получаем
1 1
sin y0 = sin a sn nt = к snnt, (5.2.5)
где к2 у (1 т)) = (ю/2и)2, а ю обозначает угловую скорость в момент,
когда 0 = 0. Период о равен 4К/п. Заметим, что с ростом а от 0 до я период о монотонно возрастает от 2я/тг до сю.
3) т) = 1. Рассмотрим лимитационное движение, приняв 9 = 0, 9>0 в момент t = 0. Имеем
92 = 2п2 (1 + cos 9) = 4тг2 cos2 \ 9.
Отсюда
d dt
(T9)=ncosTe
(1 1 \
sec Y9 -f-tg Y9) •
(5.2.6)
§ 5.2]
НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
63
Этот результат можно представить в более удобной форме. Пользуясь равенством
находим
откуда
и окончательно
sec4-e-r-tg-Le = en',
secle-tg-J-e = *-'1',
1 1
sec-5-9 = chnt, tg-~-Q = shnt
sin-|-e = th/ti. (5.2.7)
Последняя форма (5.2.7), по-видимому, наиболее удобна. Заметим, что (как уже известно из общей теории) 0 —> я при t —> 00.
Если положить 0 = я —0', то tgy0' = l/shrc? и приближенно 0' = 4е~п(.
1 • / 1 \
4) т)>1. В этом случае имеем y02 = re2 1т) +1 — 2 sin2 -j 01 =
= 2 -p-(l — &2sin2 -|-0^ , где A2 — -j-^p--= ("^T")2' и окончательно
sin-|-0 = sn4-(^)- (5-2.8)
При этом, как и ранее, предполагалось, что 0 = 0 при t = 0.
Движение является периодическим. 0 непрерывно возрастает, но является циклической координатой: значения 0, 0 + 2я, 0 + 4я, . . . эквивалентны, поскольку соответствуют одному и тому же положению системы. Период равен 2KkIn.
Таким образом, для трех последних случаев имеем
2) -1<т)<1, sin-Je = ASnIi*, # = i±IL = .|_
3) t) = I- sin-20 = thrcZ;
4) т) > 1, sin-g-0 = sn-^(Arf),
k2--
1+Т)
(5.2.9)
В заключение напишем дифференциальное уравнение, описывающее рассматриваемое движение:
0 + п2 sin 0 = 0. (5.2.10)
Его можно вывести из уравнения (5.2.1) или получить непосредственно. И обратно, из уравнения (5.2.10) легко вывести уравнение (5.2.1). Если рассматривать малые колебания около положения устойчивого рановесия 0 = 0, то приближенная форма уравнения совпадает с уравнением гармонического движения
в+-пяе = 0. (5.2.11)
Период колебаний, как уже отмечалось, приближенно равен 2я/тг.
Зависимость 0 от t, получаемая в результате решения уравнения (5.2.10), представлена графически на рис. 5 для различных положительных значений со. При со, превышающих критическое значение 2п, переменная 0 всегда возрастает с ростом t. В этом случае вместо значения 0 в промежутке
64
лагранжевы координаты
[Гл. V
l(2n — 1) я, (2п + 1) я] можно взять соответствующее значение 9 в промежутке (—я, я), представляющее ту же самую точку окружности, что и делалось при построении графика.
Рис. 5
Приближенное вычисление периода*). В случае 2), когда маятник совершает колебания с амплитудой а, период равен 4К/п,
a k = sin у а. Этот результат является точным, однако существуют различные приближенные способы вычисления периода, в которых не используются эллиптические функции.
Прежде всего заметим, что для малых колебаний хорошим приближением для периода служит 2я/тг, если а достаточно мало. Если а представляет собой острый угол, то
а а
-L 92 = п2 (cos 9 — cos a) = rea f sin х dx = п2 j хdx. (5.2.12)
в в
Рассмотрим ту четверть периода, в которой значения 0 и 0 положительны. Когда X увеличивается от 0 до а, отношение (sin х)1х монотонно убывает от 1 до (sin а)/а, так что при заданном 0 имеем
а
-|-02<na J хах = \п2{а?-№) (5.2.13)
в
и
а
_1_Є2>тг2-^ ^xdx = тг2(а2—02). (5.2.14)
