Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Основное уравнение (3.9.2) принимает теперь вид
(JP-Tot A) dx = 0. (3.9.6) С помощью векторного тождества
div (P X A) = A-rot JP- P.rot A (3.9.7) уравнение (3.9.6) можно привести к виду
j (.!.rot JP) dx = j div(JP XA) dx. (3.9.8)
Интеграл в правой части этого равенства обращается в нуль, так как он равен интегралу от нормальной составляющей вектора JP х А по границе S, а последний равен нулю, поскольку вектор А на границе S обращается в нуль. Таким образом,
j 0 (Уф•rot JP) Ar = 0, (3.9.9)
4*
52
первая форма основного уравнения
[Гл. III
и это равенство справедливо для всех функций 0 класса C2, обращающихся в нуль на поверхности S. Поэтому в каждой точке жидкости
V?-rot Р = 0. (3.9.10)
Отсюда легко вывести, что всюду В ЖИДКОСТИ
rot P = O. (3.9.11)
(Можно, например, положить ф = х; тогда из (3.9.10) видно, что составляющая X вектора rot P равна нулю.)
Поскольку равенство (3.9.11) справедливо в любой точке жидкости, существует скалярная функция р такая, что
P ?= - grad р, (3.9.12)
и, следовательно,
1 др
§ P
(3.9.13)
р dz
Таким образом, мы получили уравнения движения жидкости; здесь р — функция давления.
2) В качестве второго примера сплошной системы рассмотрим задачу о колеблющейся струне. Однородная упругая струна натянута силой Р; концы струны X = 0 и х = I неподвижно закреплены на оси Ох. Струна принимается идеально гибкой, и рассматриваются малые поперечные колебания в плоскости г = 0. Натяжение струны в процессе ее движения остается постоянным.
Изменяя надлежащим образом уравнение (3.4.3), можем написать для сплошной системы
і
р j ybydx + bV = 0. (3.9.14)
о
Здесь р — масса (постоянная) единицы длины, а у (х, t) — поперечное перемещение струны. Уравнение (3.9.14) справедливо для любого момента t = U, а виртуальное перемещение Ьу (х) принадлежит классу C2 в промежутке 0 ^ X ^ I, причем в точках х = 0тих — 1Ьу = 0. Кроме того,
8V = PbI, (3.9.15)
где 1K — длина струны в смещенном положении в момент til
I
X=J Уі + у'*ах (3.9.16)
(производная ду/дх обозначена здесь через у'). Уравнение (3.9.14) можно записать теперь в виде
2 і
р j ybydx + P J y'by'dx = 0. (3.9.17)
о о
?
Так как Ьу' = Ьу, то, интегрируя по частям и учитывая, что при
х = 0 и х = 1 Ьу = 0, находим
z
j (У-с2у") by dx = 0. (3.9.18)
о
§ 3.9]
РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ СИСТЕМЫ
53
Здесь с2 = Р/р, а у" обозначает производную д2у/дх2. Равенство (3.9.18) верно в любой момент времени для любого 8у описанного выше типа. Отсюда следует, что функция у (х, t) должна удовлетворять дифференциальному уравнению
Это — волновое уравнение, описывающее поперечные колебания струны. Мы его получили для струны конечной длины I, но оно справедливо и для бесконечной или полубесконечной струны. Уравнение получило название волнового благодаря тому, что ему удовлетворяет решение / (х — et), где / (х) — произвольная функция класса C2. Таким образом, решение
у = / (x — ct) (3.9.20)
представляет волну, распространяющуюся по струне в направлении возрастания х. Решение
у = / (X + et) (3.9.21)
представляет волну, распространяющуюся в противоположном направлении.
Глава IV
ВТОРАЯ И ТРЕТЬЯ ФОРМЫ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ
§ 4.1. Вторая форма основного уравнения. При любом возможном движении системы удовлетворяются уравнения связи
JV
2ЛА + Л = 0, г=ь1,2, . .., L. (2.2.5)
S=I
Пусть
x1 + Axi, x2 + Ax2, . . ., xn + Axn
будут какие-нибудь другие возможные скорости в том же положении системы и в тот же момент времени. Они также удовлетворяют уравнению
JV
S Агв (х. + Axs) + A1. = О, г= 1,2, L. (4.1.1)
8=1
Из уравнений (2.2.5) и (4.1.1) получаем
jv
5MrAe. = О, г = 1,2, (4.1.2)
8=1
Конечные приращения скорости Ax^, Ax2, . . ., Axn удовлетворяют уравнениям (2.2.9) для виртуальных перемещений; поэтому в основном уравнении (3.1.1) можно вместо бхг написать Ахг. Таким путем приходим к уравнению
N
2 (тпг'хг — Xr) Air = 0, (4.1.3)
г=1
представляющему собой вторую форму основного уравнения. Его можно записать в эквивалентном виде:
S {(тх — X) Ax + (ту — Y) Ay + (mz — Z) Az} = 0. (4.1.4)
Во второй форме основного уравнения конфигурацию системы и момент времени мы предполагаем заданными и рассматриваем два состояния системы при одной и той же конфигурации и в один и тот же момент времени, отличающиеся лишь скоростями, причем возможные значения скорости отличаются на конечную, а не на бесконечно малую величину. В простейшем случае Ax представляет собой бесконечно малую разность между близкой к действительной возможной скоростью и действительной скоростью *). Однако результат справедлив и в более общем случае, когда Ax — конечная разность между двумя любыми возможными скоростями.
Из уравнения (4.1.3) легко получить уравнение энергии для катастатической системы. Для этого достаточно в уравнение (4.1.3) вместо Ax подставить действительную скорость х; проделав это, мы получим уравнение (3.3.2).
