Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Другим примером могут служить два шарнирно соединенных твердых тела. Действие и противодействие (рассматриваемые вместе, а не каждое в отдельности) принадлежат к реакциям связи.
6) Частица, принадлежащая системе, скользит по гладкой поверхности твердого тела, которое также принадлежит системе. Действие и противодействие между частицей и телом относятся к реакциям связи.
7) Действие и противодействие между гладкими поверхностями соприкосновения двух твердых тел, принадлежащих одной системе, являются реакциями связи.
8) Действие и противодействие между идеально шероховатыми поверхностями соприкосновения двух твердых тел, принадлежащих одной системе, являются реакциями связи.
§ 2.5]
К ПОНЯТИЮ О МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ
39
9) Приведенный выше перечень не является исчерпывающим: перечислены только наиболее часто встречающиеся случаи. Все силы, порождаемые теми или иными типами связей, относятся к категории реакций связей, если они удовлетворяют основному условию, а именно если сумма работ их на любом виртуальном перемещении системы равна нулю.
§ 2.5. К понятию о механической системе. Данное нами определение механической системы представляет собой обобщение, основанное на ряде конкретных примеров. Нужно, однако, отметить, что подобное обобщение связано с некоторым произволом в выборе; оно не есть что-то однозначно предопределенное природой физического мира. Сделанный нами выбор в целом является одним из наиболее удачных, так как позволяет развить теорию, достаточно мощную для решения интересующих нас задач. Однако интересно исследовать и другие возможные определения механической системы, охватывающие более или менее широкий круг явлений.
Расширение области приложения этого определения может быть достигнуто различными способами.
1) Мы предполагали до сих пор, что все действующие на частицы системы силы суть либо заданные силы, либо реакции связи. Можно, однако, дать более широкое определение, включив такие системы, для которых это разделение сил не имеет места. Рассмотрим, например, частицу, скользящую по шероховатой поверхности. Реакция такой поверхности на частицу имеет касательную составляющую, направленную противоположно движению. Ее величина равна величине нормальной составляющей, умноженной на [х, причем и представляет собой физическую постоянную, зависящую от природы рассматриваемой поверхности. (В большей части практических задач величина ц принимается одинаковой для всех точек поверхности.) Реакция поверхности на частицу не является ни заданной силой, ни реакцией связи, и потому эта задача не охватывается развитой здесь теорией. (Это не значит, конечно, что подобные задачи нельзя решить.)
2) Наложенные на систему связи мы выражали посредством равенств, но можно было бы также рассмотреть связи, выражаемые неравенствами. Такие связи называются односторонними или освобождающими. Простой пример односторонней связи представляет частица, скользящая по гладкому горизонтальному столу; она может покинуть стол, но не может пройти сквозь стол. Если ось z направить вертикально вверх, то эту связь можно
выразить неравенством z ^ 0. Принятое нами ранее определение исключает односторонние связи, и системы с такими связями нельзя непосредственно исследовать с помощью методов этой книги. (Можно было бы, конечно, видоизменить теорию соответствующим образом.)
3) Уравнения связи были заданы нами в форме
/ (хи х2, . . ., xN; X1, x2, . . ., xN; t) -= 0, (2.5.1)
где функции / линейны по аргументам хх, х2, . . ., xN (см. (2.2.5)). Кроме того, предполагалось, что уравнения для виртуальных перемещений вытекают из уравнений для возможных перемещений (см. (2.2.9)). Можно было бы отказаться от ограничения, связанного с линейностью функций, и считать, что функции / в (2.5.1) имеют более общий вид. В этом случае виртуальные перемещения будут определяться независимыми уравнениями и не будут непосредственно следовать из уравнений связи; такие уравнения должны иметь форму (2.2.9).
4) Предположение о том, что реакции связи не совершают работы на произвольном виртуальном перемещении, можно было бы заменить другим, более широким, например, предположением, что работа их на любом возможном перемещении измеряется скалярным произведением перемещения и некоторой дополнительной силы, зависящей от системы. Уравнение
N
2 X's6xs = 0 (2.2.10)
S=I
заменилось бы тогда соотношением
N N
2 X'soxs = 2 Х'$х" (2-5-2)
S=I S=I
в котором составляющие XJ суть заданные функции переменных х, х и t.
Сузить область приложения определения механической системы можно по крайней мере двумя путями.
1) Можно ограничиться рассмотрением систем, которые являются катастатиче-скими (§ 2.3) и для которых коэффициенты Ars не зависят от t. Уравнения связей (2.2.4)
40
МЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
ІГл. Il
тогда заменились бы уравнениями
jv
2 ATSdxs = 0,
г 1,2
..2, L,
(2.5.3)
»=1
в которых коэффициенты Ars зависят от X1, х2, ¦ ¦ ., xN.
2) Можно ограничиться рассмотрением голоно.иных систем. Связи в этом случае выражаются L уравнениями
