Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
X = г cos 0, у = г sin 0. (5.1.2)
*) Лагранжевы координаты впервые были введены в работе: Ж. Л. Л а г р а н ж, Аналитическая механика, т. I, пер. с франц. Гостехиздат, 1950. Мы используем здесь обозначения <7i, ?2> 9з> ¦ • • вместо обозначений |, ф, которыми пользовался Лагранж.
60
ЛАГРАНЖЕВЫ КООРДИНАТЫ
[ГЛ. V
3) Сферический маятник. Материальная точка P скользит под действием силы тяжести по гладкой поверхности сферы радиуса а с центром в точке О. В качестве лагранжевых координат выберем полярные углы 9, Ф, где 0 — угол между вектором OP и направленной вверх вертикальной осью Oz, а ф — азимутальный угол между плоскостью POz и координатной плоскостью xOz. В данном случае
X = о sin 0 cos ф, у == о sin 0 sin ф, z = a cos 0. (5.1.3)
4) Твердая пластинка, движущаяся в своей плоскости. В качестве лагранжевых координат возьмем координаты ?, и центра тяжести (центра масс) G пластинки относительно неподвижной системы отсчета и угол 0, образуемый прямой Gx', проведенной на пластинке, с неподвижной осью Ох. Если а, Ъ — координаты некоторой точки пластинки в системе Gx'у', связанной с самой пластинкой, то будем иметь
X = ? -j- a cos 0 — Ъ sin 0, y = T|-f-asin0-f- & cos 0.
} (5.1.4)
5) Твердое тело, движущееся в пространстве. Система является голономной с шестью степенями свободы. В качестве лагранжевых координат можно выбрать координаты |, и, ? центра тяжести G относительно неподвижной системы Oxyz и три угла ©і, 02, 03, определяющие ориентацию тела.
Возьмем прямоугольный триэдр G123, связанный с телом (обычно в качестве осей Gl, Gl, G3 выбирают главные оси инерции тела в точке G), и матрицу направляющих косинусов I
(li Tn1 щу I2 пц щ\. (5.1.5)
Элементами первой строки этой матрицы служат направляющие косинусы оси Gl по отношению к осям системы Oxyz, элементами второй строки — направляющие косинусы оси G2, и элементами третьей строки — направляющие косинусы оси G3. Элементы матрицы I являются известными функциями от углов 01, 02, 03; явные выражения для этих функций будут приведены позже (§ 7.11) для двух способов выбора углов Qt, Q2, Q3. Для точки с координатами а, Ъ, с в системе G123 справедливы формулы
x = l+lia+l2b + l3c,
у ==^ + 14^+ Tn2O +mzc, (5.1.6)
z = ? + ща + пф + Ai3C-
Их можно записать в матричной форме;
х = 1 + Га. (5.1.7)
Здесь X — вектор {х, у, z}, I—вектор {І, т], ?}, а — вектор {а, Ъ, с), а V — матрица, полученная из I транспонированием.
В ряде случаев триэдр Gl23, связанный с телом, удобней обозначать через GABC, а матрицу I записывать в виде
hi ІІ2 ^13 \
hl І22 123 1 - (5.1.8)
Лзі ^32 ^33 /
§ 5.2]
некоторые классические задачи
61
6) В предыдущих примерах мы имели голономные системы и число п лагранжевых координат равнялось числу к степеней свободы механической системы. В заключение приведем простой пример неголономной системы.
Стержень PfPz совершает плоское движение. Наложенная идеальная связь такова, что точка Pi может двигаться только вдоль направления PiPz (см. § 2.1). В качестве лагранжевых координат выберем координаты X1, Xj1 точки Pi по отношению к неподвижным осям Оху и угол 9 наклона отрезка P1Pz к оси Ох. Возможные перемещения удовлетворяют уравнению (см. (2.1.10))
cos 9 0Iy1 — sin 0 (Ix1 = 0. (5.1.9)
Это уравнение не допускает интегрирующего множителя. Система имеет две степени свободы (к = 2, Z = 1), но число лагранжевых координат равно трем (re = Те + I = 3). Декартовы координаты точки, находящейся на стержне на расстоянии а от точки P1, выражаются формулами
X = X1 + a cos 0, у = г/i + a sin 0. (5.1.10)
Несмотря на то, что система имеет лишь две степени свободы, множество достижимых конфигураций является трехпараметрическим. В самом деле, систему из любого начального положения можно перевести в любое конечное. Это было доказано уже в § 2.1.
§ 5.2. Некоторые классические задачи. Позже (в § 6.2) мы выведем уравнения Лагранжа, описывающие движение механической системы в лагранжевых координатах. Однако уже сейчас мы можем решить некоторые важные задачи, не пользуясь уравнениями Лагранжа. Рассмотрим пять задач. Четыре из них (примеры 5.2А, 5.2В, 5.2С и § 5.3) могут быть решены с помощью одних только законов сохранения энергии (3.4.5) и сохранения момента количества движения (3.2.12). В последней задаче (§§ 5.4, 5.5, 5.6) мы используем также уравнения движения в декартовых координатах.
Пример 5.2А. Простой маятник. Тяжелая точка движется без трения по окружности радиуса а в вертикальной плоскости. Система голономна с одной степенью свободы. В качестве лагранжевой координаты возьмем угол 9, отсчитываемый от наинизшей точки окружности. Заданной силой здесь является вес частицы, а реакцией связи — нормальная реакция проволоки (если представить, что бусинка скользит по гладкой проволоке) или натяжение стержня (если считать, что частица закреплена на конце невесомого стержня, другой конец которого шарнирно закреплен в неподвижной точке). Потенциальная энергия равна mgz, где z — высота частицы относительно центра окружности. Уравнение энергии имеет вид
