Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Парс Л.А. -> "Аналитическая динамика" -> 24

Аналитическая динамика - Парс Л.А.

Парс Л.А. Аналитическая динамика. Под редакцией Рубашева А.Н. — М.:Наука, 1971. — 636 c.
Скачать (прямая ссылка): analitdinamik1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 290 >> Следующая


JV JV

dV _ Xi dV • _ vv;

Tt Zi дхт Xr--Z ЛтХг-

г=1 г=1

Учитывая (3.3.2), получаем

dt

±(T + V) = 0. (3.4.4)

Отсюда

T + V = Ii1 (3.4.5)

где h — постоянная. Уравнение (3.4.5) определяет вторую, или классическую, форму уравнения энергии, или интеграл энергии. Для катастатической системы, находящейся под действием заданных консервативных сил, сумма кинетической и потенциальной энергий системы сохраняет постоянное значение при любом движении системы; значение h в каждом движении определяется начальными условиями.

Поверхность V = h в iV-мерном пространстве X1, х2, . . ., 'xN называют поверхностью постоянной энергии для данного движения. Так как T ^ О, то в течение всего времени движения системы V ^ п.

На первый взгляд может показаться странным, что классическая форма уравнения энергии сохраняет силу для таких систем, у которых коэффициенты Ars в уравнениях связи зависят от t. Хотя в большей части случаев, представляющих практический интерес, эти коэффициенты и не зависят от *, все же интересно проиллюстрировать случай зависимости коэффициентов от t на простом конкретном примере. Рассмотрим плоское движение частицы массы т, находящейся в однородном силовом поле (0, mg), при наличии связи вида t dx — dy = 0. Предположим, что в момент t = 0 частица находится в точке (0, 0) и имеет начальную скорость (и, 0). Уравнения движения будут иметь вид

тх—Х', ту= mg+Y'. (3.4.6)

46

ПЕРВАЯ ФОРМА ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ

[Гл. III

Кроме того,

X' + tY' = 0, у = t'x. (3.4.7)

Интегрируя, получаем

x=gshQ + (u-g)Q, y = YgSb*Q + (u-g)(chQ-i), (3.4.8)

где sh 0 = t. Непосредственной проверкой убеждаемся, что уравнение энергии

1 1

ут (г2 + !/2) — mgy=jmu? (3.4.9)

удовлетворяется.

Прежде чем закончить рассмотрение классической формы уравнения энергии, заметим, что предположение, принятое нами относительно функций X1- (= Хг (ж)), является строго говоря, более сильным, чем это действительно необходимо. Мы предполагали, что выражение 2 Xг &хт есть точный дифференциал для произвольных вариаций

T=I

dxit dx2, . . ., dxN, тогда как достаточно было считать его точным дифференциалом для произвольного перемещения системы. (Строго говоря, мы имеем дело с произвольным виртуальным перемещением, но в данном случае можно опустить слово «виртуальный», поскольку речь идет о катастатической системе, для которой виртуальные и возможные перемещения совпадают.) Приведем простой пример. Предположим, что частица совершает движение в силовом поле X, Y, Z. Согласно теореме Пфаффа можно представить пфаффову форму X dx + Y dy + Z dz в виде — dV + 6 (ftp, где V, 0 и ф — функции от х, у, z. Вообще говоря, таким путем мы еще не получаем уравнения энергии в классической форме (3.4.5). Но если система подчинена связи

(ftp = 0, (3.4.10)

то для произвольного (виртуального) перемещения имеем

X dx + Y dy + Z dz = —dV. (3.4.11)

Отсюда следует, что классическая форма уравнения энергии (3.4.5) сохраняет силу.

Можно отметить, наконец, что встречаются системы, в которых заданные силы Xi, X2, . . ., Xjv зависят как от t, так и от ас и для которых

jv

2 X1-Ac1.= —d,V, (3.4.12)

где V = V (xi, х2, ¦ ¦ ., xN, t) и символ dsV выражает пространственный

jv

дифференциал 2 -Qx- dxT при фиксированном t. (Простым примером служит

г=1 Г

движение заряженной частицы в однородном магнитном поле, напряженность которого изменяется со временем.) В данном случае мы не имеем классического интеграла энергии, тем не менее свойство, выражаемое соотношением (ЗЛЛ2у, приводит к упрощению уравнений движения (§ 6.5).

§ 3.5. Третья форма уравнения энергии. Может случиться, что заданные силы в целом не консервативны, но система образована из двух подсистем, одна из которых является консервативной. В этом случае можно написать

Хг = Xn + Хг2, (3.5.1)

причем слагаемое Xn ,зависит от X1, х2, . . ., Xn и система сил Xn консервативна, так что

jv

У\ Xndxr=-dV. (3.5.2)

. r=l

§ 3.71

ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА

47

При этих условиях уравнение (3.3.2) для катастатической системы приобретает вид

N N N

— 2 Хпхт+ 2 ^г%:сг = dt 2 XnXr •

г=1 г=1 г=1

Отсюда

-^(T+ V) Xr2Xr- (3.5.3)

г=1

Мы получили третью форму уравнения энергии. Очевидно, эта форма включает две предыдущие как частные случаи. Она выражает тот факт, что скорость изменения полной энергии, кинетической плюс потенциальной, равна мощности остальных сил, т. е. сил, не дающих вклада в потенциальную энергию V; мы можем смотреть на механическую систему и консервативные силы как на нечто физически целое, для которого остальные силы являются посторонними.

§ 3.6. Сохранение энергии. Формула (3.4.5), выражающая классический интеграл энергии, играет важную роль во всей механике. Ее значение не ограничивается рамками классической механики и распространяется буквально на все области физических наук. Например, работа, затрачиваемая на растяжение струны, переходит в энергию натянутой струны. Если один конец струны закреплен, а другой соединен с частицей, то при освобождении струны запасенная в ней энергия переходит в кинетическую энергию частицы. Общий закон о сохранении энергии занимает столь важное место в нашем представлении о физическом мире, что, даже встречаясь с динамической задачей, в которой энергия не сохраняется, мы предпочитаем говорить, что энергия не уничтожается, а переходит в другую форму, отличную от кинетической или потенциальной энергии механической системы (например, в тепло). Тем не менее, несмотря на всеобъемлющий характер этого принципа для физики в целом, не следует придавать уравнению (3.4.5) большее значение, чем оно имеет в действительности. Мы будем рассматривать его как чрезвычайно простой первый интеграл уравнений движения.
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 290 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed